Алгебра Примеры

$f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Этап 1

Простейшая форма функция является самой простой формой функции данного типа.

$g (x) = x^{2}$

Этап 2

Описываемое преобразование из $g (x) = x^{2}$ в $f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$g (x) = x^{2} \to f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Этап 3

Найдем форму $f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы записать $- {(x + 3)}^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = - {(x + 3)}^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 3.1.2

Объединим $- {(x + 3)}^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{- {(x + 3)}^{2} \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- {(x + 3)}^{2} \cdot 4 + 1}{4}$

Этап 3.1.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 4 {(x + 3)}^{2} + 1}{4}$

Этап 3.1.5

Изменим порядок членов.

$y = \frac{1}{4} \cdot (- 4 {(x + 3)}^{2} + 1)$

Этап 3.2

Составим полный квадрат для $\frac{1}{4} \cdot (- 4 {(x + 3)}^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 ((x + 3) (x + 3)) + 1)$

Этап 3.2.1.1.2

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + 1)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + 1)$

Этап 3.2.1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

Этап 3.2.1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

Этап 3.2.1.1.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

Этап 3.2.1.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + 1)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 6 x + 9) + 1)$

Этап 3.2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot 9 + 1)$

Этап 3.2.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.5.1

Умножим $6$ на $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot 9 + 1)$

Этап 3.2.1.1.5.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 36 + 1)$

Этап 3.2.1.2

Добавим $- 36$ и $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 35)$

Этап 3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (- 4 x^{2}) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Этап 3.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (4 (- x^{2})) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Этап 3.2.1.4.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (4 (- x^{2})) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Этап 3.2.1.4.1.3

Перепишем это выражение.

$- x^{2} + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 24 x$ .

$- x^{2} + \frac{1}{4} (4 (- 6 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Этап 3.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- x^{2} + \frac{1}{4} (4 (- 6 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Этап 3.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- x^{2} - 6 x + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Этап 3.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 35$ .

$- x^{2} - 6 x + \frac{- 35}{4}$

Этап 3.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- x^{2} - 6 x - \frac{35}{4}$

Этап 3.2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = - \frac{35}{4}$

Этап 3.2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 3.2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Этап 3.2.4.2.2

Перепишем $- 1 \cdot - 3$ в виде $- - 3$ .

$d = - - 3$

Этап 3.2.4.2.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$d = 3$

Этап 3.2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{35}{4} - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 3.2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$e = - \frac{35}{4} - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Этап 3.2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = - \frac{35}{4} - \frac{36}{- 4}$

Этап 3.2.5.2.1.3

Разделим $36$ на $- 4$ .

$e = - \frac{35}{4} - - 9$

Этап 3.2.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$e = - \frac{35}{4} + 9$

Этап 3.2.5.2.2

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$e = - \frac{35}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 3.2.5.2.3

Объединим $9$ и $\frac{4}{4}$ .

$e = - \frac{35}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e = \frac{- 35 + 9 \cdot 4}{4}$

Этап 3.2.5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.5.1

Умножим $9$ на $4$ .

$e = \frac{- 35 + 36}{4}$

Этап 3.2.5.2.5.2

Добавим $- 35$ и $36$ .

$e = \frac{1}{4}$

Этап 3.2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$- {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Этап 3.3

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Этап 4

Горизонтальный сдвиг зависит от значения $h$ . Горизонтальный сдвиг описывается следующим образом:

$f (x) = f (x + h)$ — график сдвинут влево на $h$ ед.

$f (x) = f (x - h)$ — график сдвинут вправо на $h$ ед.

Сдвиг по горизонтали: левые единицы $3$

Этап 5

Смещение по вертикали зависит от значения $k$ . Вертикальный сдвиг описывается следующим образом:

$f (x) = f (x) + k$ — график сдвинут вверх на $k$ ед.

$f (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Смещение по вертикали: сдвинут вверх на $0.25$ ед.

Этап 6

График отражен относительно оси x, если $f (x) = - f (x)$ .

Отражение относительно оси X: отражено

Этап 7

График отражен относительно оси y, если $f (x) = f (- x)$ .

Отражение относительно оси Y: нет

Этап 8

Сжатие и растяжение зависят от значения $a$ .

Если $a$ больше $1$ : растянут по вертикали

Если $a$ между $0$ и $1$ : сжат по вертикали

Сжатие или растяжение по вертикали: нет

Этап 9

Сравним и перечислим преобразования.

Порождающая функция: $g (x) = x^{2}$

Сдвиг по горизонтали: левые единицы $3$

Смещение по вертикали: сдвинут вверх на $0.25$ ед.

Отражение относительно оси X: отражено

Отражение относительно оси Y: нет

Сжатие или растяжение по вертикали: нет

Этап 10