Алгебра Примеры

$\frac{x + 4}{x^{2} - 1} - 5 = \frac{1}{x - 1}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x + 4}{x^{2} - 1^{2}} - 5 = \frac{1}{x - 1}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - 5 = \frac{1}{x - 1}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(x + 1) (x - 1), 1, x - 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

НОК $x + 1, x - 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x + 1) (x - 1)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - 5 = \frac{1}{x - 1}$ умножим на $(x + 1) (x - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - 5 = \frac{1}{x - 1}$ на $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) - 5 ((x + 1) (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $(x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) - 5 ((x + 1) (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 4 - 5 ((x + 1) (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 - 5 (x (x - 1) + 1 (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 - 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 - 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - x + x - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} + 0 - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.3.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 - 5 x^{2} - 5 \cdot - 1 = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.1.5

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$x + 4 - 5 x^{2} + 5 = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.2.2

Добавим $4$ и $5$ .

$x - 5 x^{2} + 9 = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x + 1) (x - 1)$ .

$x - 5 x^{2} + 9 = \frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$x - 5 x^{2} + 9 = \frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$x - 5 x^{2} + 9 = x + 1$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x - 5 x^{2} + 9 - x = 1$

Этап 4.1.2

Объединим противоположные члены в $x - 5 x^{2} + 9 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$- 5 x^{2} + 9 + 0 = 1$

Этап 4.1.2.2

Добавим $- 5 x^{2} + 9$ и $0$ .

$- 5 x^{2} + 9 = 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x^{2} = 1 - 9$

Этап 4.2.2

Вычтем $9$ из $1$ .

$- 5 x^{2} = - 8$

Этап 4.3

Разделим каждый член $- 5 x^{2} = - 8$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим каждый член $- 5 x^{2} = - 8$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 5}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{8}{5}$

Этап 4.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{8}{5}}$

Этап 4.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{8}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{8}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$

Этап 4.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{5}}$

Этап 4.5.2.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{5}}$

Этап 4.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Этап 4.5.3

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Этап 4.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Умножим $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 4.5.4.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 4.5.4.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 4.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 4.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 4.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Этап 4.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 2}}{5}$

Этап 4.5.5.2

Умножим $5$ на $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Этап 4.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Этап 4.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Этап 4.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{5}, - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{5}, - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Десятичная форма:

$x = 1.26491106 \dots, - 1.26491106 \dots$