Алгебра Примеры

${(x + 1)}^{2} - 2 = \frac{2}{x}$

Этап 1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

${(x + 1)}^{2} = \frac{2}{x} + 2$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, x, 1$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 3

Каждый член в ${(x + 1)}^{2} = \frac{2}{x} + 2$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член ${(x + 1)}^{2} = \frac{2}{x} + 2$ на $x$ .

${(x + 1)}^{2} x = \frac{2}{x} x + 2 x$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Изменим порядок множителей в ${(x + 1)}^{2} x$ .

$x {(x + 1)}^{2} = \frac{2}{x} x + 2 x$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x {(x + 1)}^{2} = \frac{2}{x} x + 2 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x {(x + 1)}^{2} = 2 + 2 x$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x {(x + 1)}^{2} - 2 x = 2$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$x ((x + 1) (x + 1)) - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x (x + 1) + 1 (x + 1)) - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$x (x^{2} + x + x + 1) - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$x (x^{2} + 2 x + 1) - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.5.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.5.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} + x (2 x) + x \cdot 1 - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{3} + 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.5.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{3} + 2 x \cdot x + x - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Перенесем $x$ .

$x^{3} + 2 (x \cdot x) + x - 2 x = 2$

Этап 4.1.2.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} + x - 2 x = 2$

Этап 4.1.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$x^{3} + 2 x^{2} - x = 2$

Этап 4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} + 2 x^{2} - x - 2 = 0$

Этап 4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{3} + 2 x^{2}) - x - 2 = 0$

Этап 4.3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (x + 2) - (x + 2) = 0$

Этап 4.3.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 4.3.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 4.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 4.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 4.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.6

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.7

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - 2, - 1, 1$