Алгебра Примеры

$\frac{x^{5} + 2 x^{3} - x - 8}{x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

Этап 2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

Этап 3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Этап 6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Этап 8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

Этап 11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Этап 12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Этап 13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$5 x^{3}$

$10 x^{2}$

$5 x$

Этап 14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$5 x^{3}$

$10 x^{2}$

$5 x$

Этап 15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$5 x^{3}$

$10 x^{2}$

$5 x$

$8 x^{2}$

$6 x$

Этап 16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$5 x^{3}$

$10 x^{2}$

$5 x$

$8 x^{2}$

$6 x$

$8$

Этап 17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$5 x^{3}$

$10 x^{2}$

$5 x$

$8 x^{2}$

$6 x$

$8$

Этап 18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$5 x^{3}$

$10 x^{2}$

$5 x$

$8 x^{2}$

$6 x$

$8$

$8 x^{2}$

$16 x$

$8$

Этап 19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{2} - 16 x + 8$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$5 x^{3}$

$10 x^{2}$

$5 x$

$8 x^{2}$

$6 x$

$8$

$8 x^{2}$

$16 x$

$8$

Этап 20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$8$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{4}$

$4 x^{3}$

$2 x^{2}$

$5 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$5 x^{3}$

$10 x^{2}$

$5 x$

$8 x^{2}$

$6 x$

$8$

$8 x^{2}$

$16 x$

$8$

$10 x$

$16$

Этап 21

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$x^{3} + 2 x^{2} + 5 x + 8 + \frac{10 x - 16}{x^{2} - 2 x + 1}$