Алгебра Примеры

$\frac{1}{4} | x - 3 | + 2 < 1$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{4} \cdot | x - 3 | + 2 < 1$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x - 3 \geq 0$

Этап 1.2

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x \geq 3$

Этап 1.3

В части, где $x - 3$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\frac{1}{4} \cdot (x - 3) + 2 < 1$

Этап 1.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x - 3 < 0$

Этап 1.5

Добавим $3$ к обеим частям неравенства.

$x < 3$

Этап 1.6

В части, где $x - 3$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1$

Этап 1.7

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \frac{1}{4} \cdot (x - 3) + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.8

Упростим $\frac{1}{4} \cdot (x - 3) + 2 < 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 3 + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.8.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 3 + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.8.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4} + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.8.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

${\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.8.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.8.3

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{- 3 + 8}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.8.5.2

Добавим $- 3$ и $8$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.9

Упростим $\frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- x - - 3) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.9.1.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- x + 3) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} (- x) + \frac{1}{4} \cdot 3 + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.9.1.4

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 3 + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.9.1.5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.9.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.9.3

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3 + 2 \cdot 4}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3 + 8}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 1.9.5.2

Добавим $3$ и $8$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{11}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Этап 2

Решим $\frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1$ , когда $x \geq 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим $\frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вычтем $\frac{5}{4}$ из обеих частей неравенства.

$\frac{x}{4} < 1 - \frac{5}{4}$

Этап 2.1.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x}{4} < \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

Этап 2.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{4} < \frac{4 - 5}{4}$

Этап 2.1.1.4

Вычтем $5$ из $4$ .

$\frac{x}{4} < \frac{- 1}{4}$

Этап 2.1.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x}{4} < - \frac{1}{4}$

Этап 2.1.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x < - 1$

Этап 2.2

Найдем пересечение $x < - 1$ и $x \geq 3$ .

Нет решения

Этап 3

Решим $- \frac{x}{4} + \frac{11}{4} < 1$ , когда $x < 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим $- \frac{x}{4} + \frac{11}{4} < 1$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вычтем $\frac{11}{4}$ из обеих частей неравенства.

$- \frac{x}{4} < 1 - \frac{11}{4}$

Этап 3.1.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{x}{4} < \frac{4}{4} - \frac{11}{4}$

Этап 3.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{x}{4} < \frac{4 - 11}{4}$

Этап 3.1.1.4

Вычтем $11$ из $4$ .

$- \frac{x}{4} < \frac{- 7}{4}$

Этап 3.1.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{4} < - \frac{7}{4}$

Этап 3.1.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$- x < - 7$

Этап 3.1.3

Разделим каждый член $- x < - 7$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Разделим каждый член $- x < - 7$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 7}{- 1}$

Этап 3.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} > \frac{- 7}{- 1}$

Этап 3.1.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{- 7}{- 1}$

Этап 3.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Разделим $- 7$ на $- 1$ .

$x > 7$

Этап 3.2

Найдем пересечение $x > 7$ и $x < 3$ .

Нет решения

Этап 4

Найдем объединение решений.

Нет решения