Алгебра Примеры

$\log_{2} (x^{2} - 4) - \log_{2} (2 x + 4) = 3$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 4}{2 x + 4}) = 3$

Этап 1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{2 x + 4}) = 3$

Этап 1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 4}) = 3$

Этап 1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x) + 4}) = 3$

Этап 1.3.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 x + 2 \cdot 2}) = 3$

Этап 1.3.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

Этап 1.3.2

Сократим выражение $\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 (x + 2)}) = 3$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{x - 2}{2}) = 3$

Этап 1.4

Перепишем $\frac{x - 2}{2}$ в виде $(x - 2) \cdot 2^{- 1}$ .

$\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1}) = 3$

Этап 1.5

Перепишем $\log_{2} ((x - 2) \cdot 2^{- 1})$ в виде $\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1})$ .

$\log_{2} (x - 2) + \log_{2} (2^{- 1}) = 3$

Этап 1.6

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$\log_{2} (x - 2) - \log_{2} (2) = 3$

Этап 1.7

Логарифм $2$ по основанию $2$ равен $1$ .

$\log_{2} (x - 2) - 1 \cdot 1 = 3$

Этап 1.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\log_{2} (x - 2) - 1 = 3$

Этап 2

Перенесем все члены без $\log_{2} (x - 2)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\log_{2} (x - 2) = 3 + 1$

Этап 2.2

Добавим $3$ и $1$ .

$\log_{2} (x - 2) = 4$

Этап 3

Перепишем $\log_{2} (x - 2) = 4$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{4} = x - 2$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $x - 2 = 2^{4}$ .

$x - 2 = 2^{4}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$x - 2 = 16$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 16 + 2$

Этап 4.3.2

Добавим $16$ и $2$ .

$x = 18$