Алгебра Примеры

${(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x} > {(\frac{4}{3})}^{3 x}$

Этап 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Этап 2

Развернем $\ln ({(\frac{3}{4})}^{x^{2} + 5 x})$ , вынося $x^{2} + 5 x$ из логарифма.

$(x^{2} + 5 x) \ln (\frac{3}{4}) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{3}{4})$ в виде $\ln (3) - \ln (4)$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (4)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Этап 4

Перепишем $\ln (4)$ в виде $\ln (2^{2})$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - \ln (2^{2})) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Этап 5

Развернем $\ln (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - (2 \ln (2))) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Этап 6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > \ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$

Этап 7

Развернем $\ln ({(\frac{4}{3})}^{3 x})$ , вынося $3 x$ из логарифма.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x \ln (\frac{4}{3})$

Этап 8

Перепишем $\ln (\frac{4}{3})$ в виде $\ln (4) - \ln (3)$ .

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Этап 9

Решим неравенство относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + (x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Этап 9.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Этап 9.1.3

Развернем $(x^{2} + 5 x) (\ln (3) - 2 \ln (2))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (\ln (3) - 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Этап 9.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x (\ln (3) - 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Этап 9.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \ln (3) + x^{2} (- 2 \ln (2)) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Этап 9.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 x (- 2 \ln (2)) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Этап 9.1.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) + 5 \cdot - 2 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Этап 9.1.4.3

Умножим $5$ на $- 2$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x (\ln (4) - \ln (3))$

Этап 9.2

Упростим $3 x (\ln (4) - \ln (3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 x (- \ln (3))$

Этап 9.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) + 3 \cdot - 1 x \ln (3)$

Этап 9.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) > 3 x \ln (4) - 3 x \ln (3)$

Этап 9.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вычтем $3 x \ln (4)$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > - 3 x \ln (3)$

Этап 9.3.2

Добавим $3 x \ln (3)$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 5 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) + 3 x \ln (3) > 0$

Этап 9.3.3

Добавим $5 x \ln (3)$ и $3 x \ln (3)$ .

$x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Этап 9.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \ln (3) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \ln (3)$ .

$x (x \ln (3)) - 2 x^{2} \ln (2) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Этап 9.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x^{2} \ln (2)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + 8 x \ln (3) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Этап 9.4.3

Вынесем множитель $x$ из $8 x \ln (3)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) - 10 x \ln (2) - 3 x \ln (4) > 0$

Этап 9.4.4

Вынесем множитель $x$ из $- 10 x \ln (2)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) - 3 x \ln (4) > 0$

Этап 9.4.5

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x \ln (4)$ .

$x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Этап 9.4.6

Вынесем множитель $x$ из $x (x \ln (3)) + x (- 2 x \ln (2))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Этап 9.4.7

Вынесем множитель $x$ из $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2)) + x (8 \ln (3))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Этап 9.4.8

Вынесем множитель $x$ из $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3)) + x (- 10 \ln (2))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4)) > 0$

Этап 9.4.9

Вынесем множитель $x$ из $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + x (- 3 \ln (4))$ .

$x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$

Этап 9.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Этап 9.6

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 9.7

Приравняем $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Приравняем $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)$ к $0$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$

Этап 9.7.2

Решим $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.1.1

Вычтем $8 \ln (3)$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3)$

Этап 9.7.2.1.2

Добавим $10 \ln (2)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) - 3 \ln (4) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$

Этап 9.7.2.1.3

Добавим $3 \ln (4)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Этап 9.7.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (3) - 2 x \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (2) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Этап 9.7.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x \ln (2)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Этап 9.7.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$

Этап 9.7.2.3

Разделим каждый член $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ на $\ln (3) - 2 \ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.1

Разделим каждый член $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = - 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)$ на $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3) - 2 \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.3.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8 \ln (3)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.3.1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 8 \ln (3) + 10 \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.3.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 \ln (3)$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 10 \ln (2)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.1.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.1.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2))$ .

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2))}{\ln (3) - 2 \ln (2)} + \frac{3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3) + 5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 (- 4 \ln (3)) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 2 (5 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.2.3

Умножим $5$ на $2$ .

$x = \frac{- 8 \ln (3) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 \ln (3)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3)) + 10 \ln (2) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $10 \ln (2)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 \ln (3)) - (- 10 \ln (2))$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) + 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $3 \ln (4)$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2)) - (- 3 \ln (4))$ .

$x = \frac{- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.3.3.3.6.1

Перепишем $- (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ в виде $- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))$ .

$x = \frac{- 1 (8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4))}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.7.2.3.3.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 9.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x \ln (3) - 2 x \ln (2) + 8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)) > 0$ верно.

$x = 0, - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

$x > 0$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 10)}^{2} + 5 (- 10)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 10)}$

Этап 11.1.3

Левая часть $5.66321656 E - 7$ не больше правой части $0.00017858$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

${(\frac{3}{4})}^{{(- 4)}^{2} + 5 (- 4)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (- 4)}$

Этап 11.2.3

Левая часть $3.16049382$ больше правой части $0.03167635$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

${(\frac{3}{4})}^{{(2)}^{2} + 5 (2)} > {(\frac{4}{3})}^{3 (2)}$

Этап 11.3.3

Левая часть $0.01781794$ не больше правой части $5.61865569$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Ложь

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

$x < - \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)}$ Ложь

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$ Истина

$x > 0$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{8 \ln (3) - 10 \ln (2) - 3 \ln (4)}{\ln (3) - 2 \ln (2)} < x < 0$

Интервальное представление:

$(- \frac{\ln (\frac{6561}{65536})}{\ln (\frac{3}{4})}, 0)$

Этап 14