Алгебра Примеры

$\frac{x + \frac{1}{x} + 1}{x + \frac{1}{x} + 2}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель дроби на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{x + \frac{1}{x} + 1}{x + \frac{1}{x} + 2}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{x + \frac{1}{x} + 1}{x + \frac{1}{x} + 2}$

Этап 1.2

Объединим.

$\frac{x (x + \frac{1}{x} + 1)}{x (x + \frac{1}{x} + 2)}$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \frac{1}{x} + x \cdot 1}{x \cdot x + x \frac{1}{x} + x \cdot 2}$

Этап 3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x + x \frac{1}{x} + x \cdot 1}{x \cdot x + x \frac{1}{x} + x \cdot 2}$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \cdot x + 1 + x \cdot 1}{x \cdot x + x \frac{1}{x} + x \cdot 2}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x + 1 + x \cdot 1}{x \cdot x + x \frac{1}{x} + x \cdot 2}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \cdot x + 1 + x \cdot 1}{x \cdot x + 1 + x \cdot 2}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 + x \cdot 1}{x \cdot x + 1 + x \cdot 2}$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 1 + x}{x \cdot x + 1 + x \cdot 2}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x \cdot x + 1 + x \cdot 2}$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Переставляем члены.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x \cdot x + x \cdot 2 + 1}$

Этап 5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x^{1} x + x \cdot 2 + 1}$

Этап 5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x^{1} x^{1} + x \cdot 2 + 1}$

Этап 5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x^{1 + 1} + x \cdot 2 + 1}$

Этап 5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x \cdot 2 + 1}$

Этап 5.6

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x \cdot 2 + 1^{2}}$

Этап 5.7

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$x \cdot 2 = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 5.8

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Этап 5.9

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{x^{2} + x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$