Алгебра Примеры

$4^{x + 1} + 2^{x + 3} = 320$

Этап 1

Вычтем $320$ из обеих частей уравнения.

$4^{x + 1} + 2^{x + 3} - 320 = 0$

Этап 2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4^{x + 1}$ в виде $4^{x} \cdot 4^{1}$ .

$4^{x} \cdot 4 + 2^{x + 3} - 320 = 0$

Этап 2.2

Перепишем $2^{x + 3}$ в виде $2^{x} \cdot 2^{3}$ .

$4^{x} \cdot 4 + 2^{x} \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Этап 2.3

Перепишем $4^{x}$ в виде ${(2^{2})}^{x}$ .

${(2^{2})}^{x} \cdot 4 + 2^{x} \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Этап 2.4

Перепишем ${(2^{2})}^{x}$ в виде ${(2^{x})}^{2}$ .

${(2^{x})}^{2} \cdot 4 + 2^{x} \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Этап 2.5

Пусть $u = 2^{x}$ . Подставим $u$ вместо $2^{x}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем экспоненту.

$u^{2} \cdot 4 + u \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Этап 2.5.2

Перенесем $4$ влево от $u^{2}$ .

$4 \cdot u^{2} + u \cdot 2^{3} - 320 = 0$

Этап 2.5.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 u^{2} + u \cdot 8 - 320 = 0$

Этап 2.5.4

Перенесем $8$ влево от $u$ .

$4 u^{2} + 8 u - 320 = 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $4$ из $4 u^{2} + 8 u - 320$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 u^{2}$ .

$4 (u^{2}) + 8 u - 320 = 0$

Этап 2.6.2

Вынесем множитель $4$ из $8 u$ .

$4 (u^{2}) + 4 (2 u) - 320 = 0$

Этап 2.6.3

Вынесем множитель $4$ из $- 320$ .

$4 u^{2} + 4 (2 u) + 4 \cdot - 80 = 0$

Этап 2.6.4

Вынесем множитель $4$ из $4 u^{2} + 4 (2 u)$ .

$4 (u^{2} + 2 u) + 4 \cdot - 80 = 0$

Этап 2.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (u^{2} + 2 u) + 4 \cdot - 80$ .

$4 (u^{2} + 2 u - 80) = 0$

Этап 2.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разложим $u^{2} + 2 u - 80$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 80$ , а сумма — $2$ .

$- 8, 10$

Этап 2.7.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$4 ((u - 8) (u + 10)) = 0$

Этап 2.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (u - 8) (u + 10) = 0$

Этап 2.8

Заменим все вхождения $u$ на $2^{x}$ .

$4 (2^{x} - 8) (2^{x} + 10) = 0$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 \cdot 2^{x} + 4 \cdot - 8) (2^{x} + 10) = 0$

Этап 2.9.2

Умножим $4 \cdot 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(2^{2} \cdot 2^{x} + 4 \cdot - 8) (2^{x} + 10) = 0$

Этап 2.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2^{2 + x} + 4 \cdot - 8) (2^{x} + 10) = 0$

Этап 2.9.3

Умножим $4$ на $- 8$ .

$(2^{2 + x} - 32) (2^{x} + 10) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2^{2 + x} - 32 = 0$

$2^{x} + 10 = 0$

Этап 4

Приравняем $2^{2 + x} - 32$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $2^{2 + x} - 32$ к $0$ .

$2^{2 + x} - 32 = 0$

Этап 4.2

Решим $2^{2 + x} - 32 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $32$ к обеим частям уравнения.

$2^{2 + x} = 32$

Этап 4.2.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$2^{2 + x} = 2^{5}$

Этап 4.2.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$2 + x = 5$

Этап 4.2.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = 5 - 2$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$x = 3$

Этап 5

Приравняем $2^{x} + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $2^{x} + 10$ к $0$ .

$2^{x} + 10 = 0$

Этап 5.2

Решим $2^{x} + 10 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$2^{x} = - 10$

Этап 5.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 10)$

Этап 5.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 10)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.2.4

Нет решения для $2^{x} = - 10$

Нет решения

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2^{2 + x} - 32) (2^{x} + 10) = 0$ верно.

$x = 3$