Алгебра Примеры

$27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1} = 125$

Этап 1

Разделим каждый член $27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1} = 125$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1} = 125$ на $27$ .

$\frac{27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1}}{27} = \frac{125}{27}$

Этап 1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 {(\frac{3}{5})}^{x + 1}}{27} = \frac{125}{27}$

Этап 1.2.1.2

Разделим ${(\frac{3}{5})}^{x + 1}$ на $1$ .

${(\frac{3}{5})}^{x + 1} = \frac{125}{27}$

Этап 1.2.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3^{x + 1}}{5^{x + 1}} = \frac{125}{27}$

Этап 2

Умножим обе части на $5^{x + 1}$ .

$\frac{3^{x + 1}}{5^{x + 1}} \cdot 5^{x + 1} = \frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель $5^{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3^{x + 1}}{5^{x + 1}} \cdot 5^{x + 1} = \frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$

Этап 3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$3^{x + 1} = \frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\frac{125}{27} \cdot 5^{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Объединим $\frac{125}{27}$ и $5^{x + 1}$ .

$3^{x + 1} = \frac{125 \cdot 5^{x + 1}}{27}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

$3^{x + 1} = \frac{5^{3} \cdot 5^{x + 1}}{27}$

Этап 3.2.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3^{x + 1} = \frac{5^{3 + x + 1}}{27}$

Этап 3.2.1.4

Добавим $3$ и $1$ .

$3^{x + 1} = \frac{5^{x + 4}}{27}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (3^{x + 1}) = \ln (\frac{5^{x + 4}}{27})$

Этап 4.2

Развернем $\ln (3^{x + 1})$ , вынося $x + 1$ из логарифма.

$(x + 1) \ln (3) = \ln (\frac{5^{x + 4}}{27})$

Этап 4.3

Перепишем $\ln (\frac{5^{x + 4}}{27})$ в виде $\ln (5^{x + 4}) - \ln (27)$ .

$(x + 1) \ln (3) = \ln (5^{x + 4}) - \ln (27)$

Этап 4.4

Развернем $\ln (5^{x + 4})$ , вынося $x + 4$ из логарифма.

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - \ln (27)$

Этап 4.5

Перепишем $\ln (27)$ в виде $\ln (3^{3})$ .

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - \ln (3^{3})$

Этап 4.6

Развернем $\ln (3^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - (3 \ln (3))$

Этап 4.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(x + 1) \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$

Этап 4.8

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Упростим $(x + 1) \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (3) + 1 \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$

Этап 4.8.1.1.2

Умножим $\ln (3)$ на $1$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = (x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$

Этап 4.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Упростим $(x + 4) \ln (5) - 3 \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + 4 \ln (5) - 3 \ln (3)$

Этап 4.8.2.1.1.2

Упростим $4 \ln (5)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (5^{4}) - 3 \ln (3)$

Этап 4.8.2.1.1.3

Возведем $5$ в степень $4$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (625) - 3 \ln (3)$

Этап 4.8.2.1.1.4

Упростим $- 3 \ln (3)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (625) - \ln (3^{3})$

Этап 4.8.2.1.1.5

Возведем $3$ в степень $3$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (625) - \ln (27)$

Этап 4.8.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (3) + \ln (3) = x \ln (5) + \ln (\frac{625}{27})$

Этап 4.8.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (3) + \ln (3) - x \ln (5) - \ln (\frac{625}{27}) = 0$

Этап 4.8.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (\frac{3}{\frac{625}{27}}) = 0$

Этап 4.8.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (3 (\frac{27}{625})) = 0$

Этап 4.8.5.2

Умножим $3 (\frac{27}{625})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.5.2.1

Объединим $3$ и $\frac{27}{625}$ .

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (\frac{3 \cdot 27}{625}) = 0$

Этап 4.8.5.2.2

Умножим $3$ на $27$ .

$x \ln (3) - x \ln (5) + \ln (\frac{81}{625}) = 0$

Этап 4.8.6

Вычтем $\ln (\frac{81}{625})$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (3) - x \ln (5) = - \ln (\frac{81}{625})$

Этап 4.8.7

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (3) - x \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - x \ln (5) = - \ln (\frac{81}{625})$

Этап 4.8.7.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$

Этап 4.8.7.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (3)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (3) - 1 \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$

Этап 4.8.8

Перепишем $- 1 \ln (5)$ в виде $- \ln (5)$ .

$x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$

Этап 4.8.9

Разделим каждый член $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$ на $\ln (3) - \ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.9.1

Разделим каждый член $x (\ln (3) - \ln (5)) = - \ln (\frac{81}{625})$ на $\ln (3) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Этап 4.8.9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.9.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3) - \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (3) - \ln (5))}{\ln (3) - \ln (5)} = \frac{- \ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Этап 4.8.9.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Этап 4.8.9.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{\ln (\frac{81}{625})}{\ln (3) - \ln (5)}$

Десятичная форма:

$x = - 4$