Алгебра Примеры

$\frac{1}{x^{2} - 3} = y + 1$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2} - 3, 1, 1$

Этап 1.2

Избавимся от скобок.

$x^{2} - 3, 1, 1$

Этап 1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2} - 3$

Этап 2

Каждый член в $\frac{1}{x^{2} - 3} = y + 1$ умножим на $x^{2} - 3$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x^{2} - 3} = y + 1$ на $x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) = y (x^{2} - 3) + 1 (x^{2} - 3)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} - 3} (x^{2} - 3) = y (x^{2} - 3) + 1 (x^{2} - 3)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = y (x^{2} - 3) + 1 (x^{2} - 3)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = y x^{2} + y \cdot - 3 + 1 (x^{2} - 3)$

Этап 2.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $y$ .

$1 = y x^{2} - 3 \cdot y + 1 (x^{2} - 3)$

Этап 2.3.1.3

Умножим $x^{2} - 3$ на $1$ .

$1 = y x^{2} - 3 y + x^{2} - 3$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y x^{2} - 3 y + x^{2} - 3 = 1$ .

$y x^{2} - 3 y + x^{2} - 3 = 1$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $3 y$ к обеим частям уравнения.

$y x^{2} + x^{2} - 3 = 1 + 3 y$

Этап 3.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$y x^{2} + x^{2} = 1 + 3 y + 3$

Этап 3.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$y x^{2} + x^{2} = 3 y + 4$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y x^{2} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y x^{2}$ .

$x^{2} y + x^{2} = 3 y + 4$

Этап 3.3.2

Умножим на $1$ .

$x^{2} y + x^{2} \cdot 1 = 3 y + 4$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} y + x^{2} \cdot 1$ .

$x^{2} (y + 1) = 3 y + 4$

Этап 3.4

Разделим каждый член $x^{2} (y + 1) = 3 y + 4$ на $y + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $x^{2} (y + 1) = 3 y + 4$ на $y + 1$ .

$\frac{x^{2} (y + 1)}{y + 1} = \frac{3 y}{y + 1} + \frac{4}{y + 1}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (y + 1)}{y + 1} = \frac{3 y}{y + 1} + \frac{4}{y + 1}$

Этап 3.4.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{3 y}{y + 1} + \frac{4}{y + 1}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{2} = \frac{3 y + 4}{y + 1}$

Этап 3.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 y + 4}{y + 1}}$

Этап 3.6

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3 y + 4}{y + 1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3 y + 4}{y + 1}}$ в виде $\frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}}$

Этап 3.6.2

Умножим $\frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}}$ на $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$

Этап 3.6.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3 y + 4}}{\sqrt{y + 1}}$ на $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1} \sqrt{y + 1}}$

Этап 3.6.3.2

Возведем $\sqrt{y + 1}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1}}$

Этап 3.6.3.3

Возведем $\sqrt{y + 1}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1}}$

Этап 3.6.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}}$

Этап 3.6.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{2}}$

Этап 3.6.3.6

Перепишем ${\sqrt{y + 1}}^{2}$ в виде $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 1}$ в виде ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.6.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.6.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.6.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.6.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{1}}$

Этап 3.6.3.6.5

Упростим.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 y + 4} \sqrt{y + 1}}{y + 1}$

Этап 3.6.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

Этап 3.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

Этап 3.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

Этап 3.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = - \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = - \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$

$x = - \frac{\sqrt{(3 y + 4) (y + 1)}}{y + 1}$