Алгебра Примеры

$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = x$ .

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = x$

Этап 2

Умножим обе части на $2 a$ .

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (2 a) = x (2 a)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (2 a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} a = x (2 a)$

Этап 3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 a$ .

$2 \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 (a)} a = x (2 a)$

Этап 3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} a = x (2 a)$

Этап 3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a} a = x (2 a)$

Этап 3.1.1.3

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a} a = x (2 a)$

Этап 3.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c} = x (2 a)$

Этап 3.1.1.4

Изменим порядок $b^{2}$ и $- 4 a c$ .

$- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}} = x (2 a)$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}} = 2 x a$

Этап 4

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $b$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{- 4 a c + b^{2}} = 2 x a + b$

Этап 4.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- 4 a c + b^{2}}}^{2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- 4 a c + b^{2}}$ в виде ${(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим ${({(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- 4 a c + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- 4 a c + b^{2})}^{1} = {(2 x a + b)}^{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим.

$- 4 a c + b^{2} = {(2 x a + b)}^{2}$

Этап 4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим ${(2 x a + b)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Перепишем ${(2 x a + b)}^{2}$ в виде $(2 x a + b) (2 x a + b)$ .

$- 4 a c + b^{2} = (2 x a + b) (2 x a + b)$

Этап 4.3.3.1.2

Развернем $(2 x a + b) (2 x a + b)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 a c + b^{2} = 2 x a (2 x a + b) + b (2 x a + b)$

Этап 4.3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 a c + b^{2} = 2 x a (2 x a) + 2 x a b + b (2 x a + b)$

Этап 4.3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 a c + b^{2} = 2 x a (2 x a) + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Этап 4.3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 (x \cdot x) a (2 a) + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Этап 4.3.3.1.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 x^{2} a (2 a) + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Этап 4.3.3.1.3.1.2

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.3.1.2.1

Перенесем $a$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 x^{2} (a \cdot a) \cdot 2 + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Этап 4.3.3.1.3.1.2.2

Умножим $a$ на $a$ .

$- 4 a c + b^{2} = 2 x^{2} a^{2} \cdot 2 + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Этап 4.3.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 x a b + b (2 x a) + b \cdot b$

Этап 4.3.3.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 x a b + 2 b x a + b \cdot b$

Этап 4.3.3.1.3.1.5

Умножим $b$ на $b$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 x a b + 2 b x a + b^{2}$

Этап 4.3.3.1.3.2

Перенесем $b$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 2 a b x + 2 a b x + b^{2}$

Этап 4.3.3.1.3.3

Добавим $2 a b x$ и $2 a b x$ .

$- 4 a c + b^{2} = 4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + b^{2}$

Этап 4.4

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Поскольку $a$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + b^{2} = - 4 a c + b^{2}$

Этап 4.4.2

Добавим $4 a c$ к обеим частям уравнения.

$4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + b^{2} + 4 a c = b^{2}$

Этап 4.4.3

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Вычтем $b^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + 4 a c = b^{2} - b^{2}$

Этап 4.4.3.2

Вычтем $b^{2}$ из $b^{2}$ .

$4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + 4 a c = 0$

Этап 4.4.4

Вынесем множитель $4 a$ из $4 x^{2} a^{2} + 4 a b x + 4 a c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Вынесем множитель $4 a$ из $4 x^{2} a^{2}$ .

$4 a (x^{2} a) + 4 a b x + 4 a c = 0$

Этап 4.4.4.2

Вынесем множитель $4 a$ из $4 a b x$ .

$4 a (x^{2} a) + 4 a (b x) + 4 a c = 0$

Этап 4.4.4.3

Вынесем множитель $4 a$ из $4 a c$ .

$4 a (x^{2} a) + 4 a (b x) + 4 a (c) = 0$

Этап 4.4.4.4

Вынесем множитель $4 a$ из $4 a (x^{2} a) + 4 a (b x)$ .

$4 a (x^{2} a + b x) + 4 a (c) = 0$

Этап 4.4.4.5

Вынесем множитель $4 a$ из $4 a (x^{2} a + b x) + 4 a (c)$ .

$4 a (x^{2} a + b x + c) = 0$

Этап 4.4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$a = 0$

$x^{2} a + b x + c = 0$

Этап 4.4.6

Приравняем $a$ к $0$ .

$a = 0$

Этап 4.4.7

Приравняем $x^{2} a + b x + c$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.1

Приравняем $x^{2} a + b x + c$ к $0$ .

$x^{2} a + b x + c = 0$

Этап 4.4.7.2

Решим $x^{2} a + b x + c = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.2.1

Перенесем все члены без $a$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.2.1.1

Вычтем $b x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} a + c = - b x$

Этап 4.4.7.2.1.2

Вычтем $c$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} a = - b x - c$

Этап 4.4.7.2.2

Разделим каждый член $x^{2} a = - b x - c$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.2.2.1

Разделим каждый член $x^{2} a = - b x - c$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} a}{x^{2}} = \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Этап 4.4.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} a}{x^{2}} = \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Этап 4.4.7.2.2.2.1.2

Разделим $a$ на $1$ .

$a = \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Этап 4.4.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.2.2.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.2.2.3.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- b x$ .

$a = \frac{x (- b)}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Этап 4.4.7.2.2.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.7.2.2.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$a = \frac{x (- b)}{x \cdot x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Этап 4.4.7.2.2.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$a = \frac{x (- b)}{x \cdot x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Этап 4.4.7.2.2.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$a = \frac{- b}{x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Этап 4.4.7.2.2.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{b}{x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Этап 4.4.7.2.2.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$a = - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$

Этап 4.4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 a (x^{2} a + b x + c) = 0$ верно.

$a = 0$

$a = - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$

$a = 0$

$a = - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$

$a = 0$

$a = - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$