Алгебра Примеры

$2 = \frac{3}{2 x - 1} + \frac{- 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{3}{2 x - 1} + \frac{- 1}{{(2 x - 1)}^{2}} = 2$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + \frac{- 1}{{(2 x - 1)}^{2}} = 2$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2 x - 1} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} = 2$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 x - 1, {(2 x - 1)}^{2}, 1$

Этап 3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 3.5

Множителем $2 x - 1$ является само значение $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) = 2 x - 1$

$(2 x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.6

Множители $2 x - 1$ — это $(2 x - 1) \cdot (2 x - 1)$ , то есть $2 x - 1$ , умноженный на себя $2$ раз.

$(2 x - 1) = (2 x - 1) \cdot (2 x - 1)$

$(2 x - 1)$ встречается $2$ раз.

Этап 3.7

НОК $2 x - 1, {(2 x - 1)}^{2}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(2 x - 1)}^{2}$

Этап 4

Каждый член в $\frac{3}{2 x - 1} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} = 2$ умножим на ${(2 x - 1)}^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{3}{2 x - 1} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} = 2$ на ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} {(2 x - 1)}^{2} - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} {(2 x - 1)}^{2} = 2 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $2 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Вынесем множитель $2 x - 1$ из ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{3}{2 x - 1} ((2 x - 1) (2 x - 1)) - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} {(2 x - 1)}^{2} = 2 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2 x - 1} ((2 x - 1) (2 x - 1)) - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} {(2 x - 1)}^{2} = 2 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 (2 x - 1) - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} {(2 x - 1)}^{2} = 2 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x) + 3 \cdot - 1 - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} {(2 x - 1)}^{2} = 2 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + 3 \cdot - 1 - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} {(2 x - 1)}^{2} = 2 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 x - 3 - \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} {(2 x - 1)}^{2} = 2 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.5

Сократим общий множитель ${(2 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ в числитель.

$6 x - 3 + \frac{- 1}{{(2 x - 1)}^{2}} {(2 x - 1)}^{2} = 2 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$6 x - 3 + \frac{- 1}{{(2 x - 1)}^{2}} {(2 x - 1)}^{2} = 2 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$6 x - 3 - 1 = 2 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 4.2.2

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$6 x - 4 = 2 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $2 {(2 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем.

$6 x - 4 = 0 + 0 + 2 {(2 x - 1)}^{2}$

Этап 5.1.2

Перепишем ${(2 x - 1)}^{2}$ в виде $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$6 x - 4 = 2 ((2 x - 1) (2 x - 1))$

Этап 5.1.3

Развернем $(2 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x - 4 = 2 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1))$

Этап 5.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x - 4 = 2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1))$

Этап 5.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x - 4 = 2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 x - 4 = 2 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.1.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$6 x - 4 = 2 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.1.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x - 4 = 2 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.1.4.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$6 x - 4 = 2 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.1.4.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 x - 4 = 2 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.1.4.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 x - 4 = 2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.1.4.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 x - 4 = 2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1)$

Этап 5.1.4.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$6 x - 4 = 2 (4 x^{2} - 4 x + 1)$

Этап 5.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x - 4 = 2 (4 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1$

Этап 5.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Умножим $4$ на $2$ .

$6 x - 4 = 8 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1$

Этап 5.1.6.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$6 x - 4 = 8 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1$

Этап 5.1.6.3

Умножим $2$ на $1$ .

$6 x - 4 = 8 x^{2} - 8 x + 2$

Этап 5.2

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$8 x^{2} - 8 x + 2 = 6 x - 4$

Этап 5.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{2} - 8 x + 2 - 6 x = - 4$

Этап 5.3.2

Вычтем $6 x$ из $- 8 x$ .

$8 x^{2} - 14 x + 2 = - 4$

Этап 5.4

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$8 x^{2} - 14 x + 2 + 4 = 0$

Этап 5.5

Добавим $2$ и $4$ .

$8 x^{2} - 14 x + 6 = 0$

Этап 5.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x^{2} - 14 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x^{2}$ .

$2 (4 x^{2}) - 14 x + 6 = 0$

Этап 5.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 14 x$ .

$2 (4 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 6 = 0$

Этап 5.6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 (4 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (3) = 0$

Этап 5.6.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ .

$2 (4 x^{2} - 7 x) + 2 (3) = 0$

Этап 5.6.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x^{2} - 7 x) + 2 (3)$ .

$2 (4 x^{2} - 7 x + 3) = 0$

Этап 5.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$2 (4 x^{2} - 7 x + 3) = 0$

Этап 5.6.2.1.1.2

Запишем $- 7$ как $- 3$ плюс $- 4$

$2 (4 x^{2} + (- 3 - 4) x + 3) = 0$

Этап 5.6.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (4 x^{2} - 3 x - 4 x + 3) = 0$

Этап 5.6.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 ((4 x^{2} - 3 x) - 4 x + 3) = 0$

Этап 5.6.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (x (4 x - 3) - (4 x - 3)) = 0$

Этап 5.6.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 3$ .

$2 ((4 x - 3) (x - 1)) = 0$

Этап 5.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (4 x - 3) (x - 1) = 0$

Этап 5.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.8

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Этап 5.8.2

Решим $4 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 3$

Этап 5.8.2.2

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 5.9

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (4 x - 3) (x - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{3}{4}, 1$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{3}{4}, 1$

Десятичная форма:

$x = 0.75, 1$