Алгебра Примеры

$f (x) = \sqrt[5]{x^{7} + 7}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \sqrt[5]{x^{7} + 7}$ в виде уравнения.

$y = \sqrt[5]{x^{7} + 7}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[5]{y^{7} + 7}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[5]{y^{7} + 7} = x$ .

$\sqrt[5]{y^{7} + 7} = x$

Этап 3.2

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $5$ .

${\sqrt[5]{y^{7} + 7}}^{5} = x^{5}$

Этап 3.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{y^{7} + 7}$ в виде ${(y^{7} + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

${({(y^{7} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим ${({(y^{7} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y^{7} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{7} + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y^{7} + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Этап 3.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y^{7} + 7)}^{1} = x^{5}$

Этап 3.3.2.1.2

Упростим.

$y^{7} + 7 = x^{5}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$y^{7} = x^{5} - 7$

Этап 3.4.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[7]{x^{5} - 7}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{5} - 7}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{5} - 7}$ обратной к $f (x) = \sqrt[5]{x^{7} + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[5]{x^{7} + 7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x^{7} + 7}) = \sqrt[7]{{(\sqrt[5]{x^{7} + 7})}^{5} - 7}$

Этап 5.2.3

Перепишем ${\sqrt[5]{x^{7} + 7}}^{5}$ в виде $x^{7} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x^{7} + 7}$ в виде ${(x^{7} + 7)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x^{7} + 7}) = \sqrt[7]{{({(x^{7} + 7)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 7}$

Этап 5.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x^{7} + 7}) = \sqrt[7]{{(x^{7} + 7)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 7}$

Этап 5.2.3.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x^{7} + 7}) = \sqrt[7]{{(x^{7} + 7)}^{\frac{5}{5}} - 7}$

Этап 5.2.3.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x^{7} + 7}) = \sqrt[7]{{(x^{7} + 7)}^{\frac{5}{5}} - 7}$

Этап 5.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x^{7} + 7}) = \sqrt[7]{(x^{7} + 7) - 7}$

Этап 5.2.3.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x^{7} + 7}) = \sqrt[7]{x^{7} + 7 - 7}$

Этап 5.2.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x^{7} + 7}) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x^{7}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x^{7} + 7}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Этап 5.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{x^{7} + 7}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[7]{x^{5} - 7})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[7]{x^{5} - 7}) = \sqrt[5]{{(\sqrt[7]{x^{5} - 7})}^{7} + 7}$

Этап 5.3.3

Перепишем ${\sqrt[7]{x^{5} - 7}}^{7}$ в виде $x^{5} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[7]{x^{5} - 7}$ в виде ${(x^{5} - 7)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x^{5} - 7}) = \sqrt[5]{{({(x^{5} - 7)}^{\frac{1}{7}})}^{7} + 7}$

Этап 5.3.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x^{5} - 7}) = \sqrt[5]{{(x^{5} - 7)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} + 7}$

Этап 5.3.3.3

Объединим $\frac{1}{7}$ и $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{5} - 7}) = \sqrt[5]{{(x^{5} - 7)}^{\frac{7}{7}} + 7}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[7]{x^{5} - 7}) = \sqrt[5]{{(x^{5} - 7)}^{\frac{7}{7}} + 7}$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[7]{x^{5} - 7}) = \sqrt[5]{(x^{5} - 7) + 7}$

Этап 5.3.3.5

Упростим.

$f (\sqrt[7]{x^{5} - 7}) = \sqrt[5]{x^{5} - 7 + 7}$

Этап 5.3.4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 7$ и $7$ .

$f (\sqrt[7]{x^{5} - 7}) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x^{5}$ и $0$ .

$f (\sqrt[7]{x^{5} - 7}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (\sqrt[7]{x^{5} - 7}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{5} - 7}$ — обратная к $f (x) = \sqrt[5]{x^{7} + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{5} - 7}$