Алгебра Примеры

$\frac{\tan (\frac{5 π}{4}) + \tan (\frac{7 π}{12})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{7 π}{12})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{7 π}{12})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3

Точное значение $\tan (\frac{7 π}{12})$ : $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Представим $\frac{7 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\frac{1 + \tan (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\frac{1 \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку тангенс принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.6

$\frac{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.12

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ на $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.13

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ на $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.14

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.15

Упростим.

$\frac{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.16

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.17

Развернем $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.17.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.18

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.18.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.18.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.18.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.18.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.18.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.18.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.18.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1 - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.18.2

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 1.3.4.18.3

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - \tan (\frac{5 π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 2.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 \cdot 1 \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 \tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 2.4

Точное значение $\tan (\frac{7 π}{12})$ : $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 \tan (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})}$

Этап 2.4.2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Этап 2.4.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку тангенс принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Этап 2.4.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Этап 2.4.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Этап 2.4.4.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Этап 2.4.4.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Этап 2.4.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Этап 2.4.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}})}$

Этап 2.4.4.6

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}})}$

Этап 2.4.4.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}})}$

Этап 2.4.4.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}})}$

Этап 2.4.4.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}})}$

Этап 2.4.4.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})}$

Этап 2.4.4.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}})}$

Этап 2.4.4.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}})}$

Этап 2.4.4.12

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ на $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})})}$

Этап 2.4.4.13

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ на $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}})}$

Этап 2.4.4.14

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}})}$

Этап 2.4.4.15

Упростим.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}})}$

Этап 2.4.4.16

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})})}$

Этап 2.4.4.17

Развернем $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.17.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})}$

Этап 2.4.4.17.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})})}$

Этап 2.4.4.17.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})}$

Этап 2.4.4.18

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.18.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.18.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}})}$

Этап 2.4.4.18.1.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}})}$

Этап 2.4.4.18.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}})}$

Этап 2.4.4.18.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}})}$

Этап 2.4.4.18.1.5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}})}$

Этап 2.4.4.18.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3})}$

Этап 2.4.4.18.2

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}})}$

Этап 2.4.4.18.3

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - 1 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}$

Этап 2.5

Умножим $- 1 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 + 1 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$

Этап 2.5.2

Умножим $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$

Этап 3

Умножим $\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$ на $\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}} \cdot \frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$ на $\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$ .

$\frac{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{(1 + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}$

Этап 4.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - {\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

$\frac{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ в степень $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}^{1} (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 5.2

Возведем $1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ в степень $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}^{1} {(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}^{1}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}^{1 + 1}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}^{2}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 6

Перепишем ${(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$ .

$\frac{(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 7

Развернем $(1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} \cdot 1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} \cdot 1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.2

Умножим $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} \cdot 1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.4

Умножим $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 1 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.4.2

Умножим $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ на $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.4.3

Возведем $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ в степень $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.4.4

Возведем $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ в степень $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{1}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{1 + 1}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{2}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.5

Перепишем ${\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}^{2}$ в виде $7 + 4 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ в виде ${(7 + 4 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {({(7 + 4 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {(7 + 4 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {(7 + 4 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {(7 + 4 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + {(7 + 4 \sqrt{3})}^{1}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.1.5.5

Упростим.

$\frac{1 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 7 + 4 \sqrt{3}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.2

Добавим $1$ и $7$ .

$\frac{8 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 4 \sqrt{3}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 8.3

Вычтем $\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ из $- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

$\frac{8 - 2 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 4 \sqrt{3}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 9

Сократим общий множитель $8 - 2 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 4 \sqrt{3}$ и $- 6 - 4 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 (4) - 2 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 4 \sqrt{3}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 9.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}$ .

$\frac{2 (4) + 2 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) + 4 \sqrt{3}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4) + 2 (- \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}})$ .

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) + 4 \sqrt{3}}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 9.4

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) + 2 (2 \sqrt{3})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 9.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}) + 2 (2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3})}{- 6 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 9.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3})}{2 \cdot - 3 - 4 \sqrt{3}}$

Этап 9.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3})}{2 \cdot - 3 + 2 (- 2 \sqrt{3})}$

Этап 9.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 3) + 2 (- 2 \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3})}{2 (- 3 - 2 \sqrt{3})}$

Этап 9.6.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3})}{2 (- 3 - 2 \sqrt{3})}$

Этап 9.6.5

Перепишем это выражение.

$\frac{4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}}{- 3 - 2 \sqrt{3}}$

Этап 10

Умножим $\frac{4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}}{- 3 - 2 \sqrt{3}}$ на $\frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{- 3 + 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}}{- 3 - 2 \sqrt{3}} \cdot \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{- 3 + 2 \sqrt{3}}$

Этап 11

Умножим $\frac{4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}}{- 3 - 2 \sqrt{3}}$ на $\frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{- 3 + 2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 3 + 2 \sqrt{3})}{(- 3 - 2 \sqrt{3}) (- 3 + 2 \sqrt{3})}$

Этап 12

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 3 + 2 \sqrt{3})}{9 - 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 13

Упростим.

$\frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 3 + 2 \sqrt{3})}{- 3}$

Этап 14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 3 + 2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 15

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$- \frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 1 (3) + 2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 16

Вынесем множитель $- 1$ из $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 1 (3) - (- 2 \sqrt{3}))}{3}$

Этап 17

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (3) - (- 2 \sqrt{3})$ .

$- \frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (- 1 (3 - 2 \sqrt{3}))}{3}$

Этап 18

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 18.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 18.3

Умножим $\frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})}{3}$ на $1$ .

$\frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 19

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{(4 - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})}{3}$

Десятичная форма:

$- 0.57735026 \dots$