Алгебра Примеры

$x^{2} < 15 x - 7$

Этап 1

Вычтем $15 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} - 15 x < - 7$

Этап 2

Добавим $7$ к обеим частям неравенства.

$x^{2} - 15 x + 7 < 0$

Этап 3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 15 x + 7 = 0$

Этап 4

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 15$ и $c = 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 15$ в степень $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Вычтем $28$ из $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 15$ в степень $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Вычтем $28$ из $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2}$

Этап 7.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$

Этап 8

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $- 15$ в степень $2$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.2.2

Умножим $- 4$ на $7$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{225 - 28}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.1.3

Вычтем $28$ из $225$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2 \cdot 1}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{15 \pm \sqrt{197}}{2}$

Этап 8.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$

Этап 9

Объединим решения.

$x = \frac{15 + \sqrt{197}}{2}, \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$

$\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$

$x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${(0)}^{2} < 15 (0) - 7$

Этап 11.1.3

Левая часть $0$ не меньше правой части $- 7$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

${(3)}^{2} < 15 (3) - 7$

Этап 11.2.3

Левая часть $9$ меньше правой части $38$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 17$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $17$ в исходном неравенстве.

${(17)}^{2} < 15 (17) - 7$

Этап 11.3.3

Левая часть $289$ не меньше правой части $248$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$ Ложь

$\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ Истина

$x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ Ложь

$x < \frac{15 - \sqrt{197}}{2}$ Ложь

$\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ Истина

$x > \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{15 - \sqrt{197}}{2} < x < \frac{15 + \sqrt{197}}{2}$

Этап 13

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(\frac{15 - \sqrt{197}}{2}, \frac{15 + \sqrt{197}}{2})$

Этап 14