Алгебра Примеры

$(\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}) \div (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})$

Этап 1

Запишем деление в виде дроби.

$\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Этап 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$ на $\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}$ .

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)} \cdot \frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Этап 2.2

Объединим.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})}$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Этап 4

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $p^{2} - q^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $p^{2} - q^{2}$ из $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(p^{2} - q^{2}) ((q - p) (p + q)) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель.

Этап 4.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $q - p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $q - p$ из $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (q - p) ((p^{2} - q^{2}) (p + q)) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $p + q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $p + q$ из $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Этап 4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

Этап 4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $(p + q) q$ из $(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $(p + q) q$ из $(q - p) (p + q) (p q)$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $(p + q) q$ из $(p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $(p + q) q$ из $(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})$ .

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(p + q) q (q p - p \cdot p + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.3

Умножим $p$ на $p$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перенесем $p$ .

$\frac{(p + q) q (q p - (p \cdot p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.3.2

Умножим $p$ на $p$ .

$\frac{(p + q) q (q p - p^{2} + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.4

Добавим $- p^{2}$ и $p^{2}$ .

$\frac{(p + q) q (q p + 0 - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.5

Добавим $q p$ и $0$ .

$\frac{(p + q) q (q p - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $q$ из $q p - q^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $q$ из $q p$ .

$\frac{(p + q) q (q (p) - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $q$ из $- q^{2}$ .

$\frac{(p + q) q (q (p) + q (- q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.6.3

Вынесем множитель $q$ из $q (p) + q (- q)$ .

$\frac{(p + q) q (q (p - q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

$\frac{(p + q) q \cdot q (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Возведем $q$ в степень $1$ .

$\frac{(p + q) (q^{1} q) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.7.2

Возведем $q$ в степень $1$ .

$\frac{(p + q) (q^{1} q^{1}) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(p + q) q^{1 + 1} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 5.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ из $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ из $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ из $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q)$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ из $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q))$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ из $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = p$ и $b = q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (p - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - (q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- p) - (q)$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p + q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 (- p + q) (- p + q) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.3.5

Возведем $- p + q$ в степень $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} (- p + q)) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.3.6

Возведем $- p + q$ в степень $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} {(- p + q)}^{1}) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{1 + 1} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.4

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p \cdot p + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.5.2

Умножим $p$ на $p$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + p (- q) + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q \cdot q + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.5.6

Умножим $q$ на $q$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.1

Перенесем $q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - (q \cdot q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.5.6.2

Умножим $q$ на $q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.6

Объединим противоположные члены в $p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Изменим порядок множителей в членах $q p$ и $- p q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + p q - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.6.2

Вычтем $p q$ из $p q$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + 0 - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.6.3

Добавим $p^{2}$ и $0$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

Этап 6.6.4

Вычтем $p^{2}$ из $p^{2}$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2} + 0)}$

Этап 6.6.5

Добавим $- q^{2} + 4 q^{2}$ и $0$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2})}$

Этап 6.7

Добавим $- q^{2}$ и $4 q^{2}$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} \cdot 3 q^{2}}$

Этап 6.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $p + q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Этап 7.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $q^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

Этап 7.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{p - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $p - q$ и ${(- p + q)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $p$ .

$\frac{- 1 (- p) - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Этап 7.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- q$ .

$\frac{- 1 (- p) - (q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Этап 7.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- p) - (q)$ .

$\frac{- 1 (- p + q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Этап 7.3.4

Вынесем множитель $- p + q$ из $- 1 (- p + q)$ .

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

Этап 7.3.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.5.1

Вынесем множитель $- p + q$ из $- 3 {(- p + q)}^{2}$ .

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

Этап 7.3.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

Этап 7.3.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{- 3 (- p + q)}$

Этап 7.4

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{1}{(3) (- p + q)}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- p$ .

$\frac{1}{3 (- (p) + q)}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $q$ .

$\frac{1}{3 (- (p) - 1 (- q))}$

Этап 7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (p) - 1 (- q)$ .

$\frac{1}{3 (- (p - q))}$

Этап 7.8

Перепишем отрицательные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Перепишем $- (p - q)$ в виде $- 1 (p - q)$ .

$\frac{1}{3 (- 1 (p - q))}$

Этап 7.8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3 (p - q)}$