Алгебра Примеры

$\frac{3}{x^{2} - 49} - \frac{9}{x^{2} - 14 x + 49}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{3}{x^{2} - 7^{2}} - \frac{9}{x^{2} - 14 x + 49}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{9}{x^{2} - 14 x + 49}$

Этап 1.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{9}{x^{2} - 14 x + 7^{2}}$

Этап 1.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Этап 1.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{9}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}}$

Этап 1.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{3}{(x + 7) (x - 7)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 7}{x - 7} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{9}{{(x - 7)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{3}{(x + 7) (x - 7)} \cdot \frac{x - 7}{x - 7} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 7) {(x - 7)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{3}{(x + 7) (x - 7)}$ на $\frac{x - 7}{x - 7}$ .

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) (x - 7) (x - 7)} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Этап 4.2

Возведем $x - 7$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) ({(x - 7)}^{1} (x - 7))} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Этап 4.3

Возведем $x - 7$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) ({(x - 7)}^{1} {(x - 7)}^{1})} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Этап 4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) {(x - 7)}^{1 + 1}} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Этап 4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) {(x - 7)}^{2}} - \frac{9}{{(x - 7)}^{2}} \cdot \frac{x + 7}{x + 7}$

Этап 4.6

Умножим $\frac{9}{{(x - 7)}^{2}}$ на $\frac{x + 7}{x + 7}$ .

$\frac{3 (x - 7)}{(x + 7) {(x - 7)}^{2}} - \frac{9 (x + 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 4.7

Изменим порядок множителей в $(x + 7) {(x - 7)}^{2}$ .

$\frac{3 (x - 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)} - \frac{9 (x + 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (x - 7) - 9 (x + 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 (x - 7) - 9 (x + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9 (x + 7)$ .

$\frac{3 (x - 7) + 3 (- 3 (x + 7))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (x - 7) + 3 (- 3 (x + 7))$ .

$\frac{3 (x - 7 - 3 (x + 7))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (x - 7 - 3 x - 3 \cdot 7)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 6.3

Умножим $- 3$ на $7$ .

$\frac{3 (x - 7 - 3 x - 21)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 6.4

Вычтем $3 x$ из $x$ .

$\frac{3 (- 2 x - 7 - 21)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 6.5

Вычтем $21$ из $- 7$ .

$\frac{3 (- 2 x - 28)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 6.6

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x - 28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{3 (2 (- x) - 28)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 6.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 28$ .

$\frac{3 (2 (- x) + 2 (- 14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 6.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x) + 2 (- 14)$ .

$\frac{3 (2 (- x - 14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

$\frac{3 \cdot 2 (- x - 14)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 6.7

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 (- x - 14)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{6 (- (x) - 14)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 7.2

Перепишем $- 14$ в виде $- 1 (14)$ .

$\frac{6 (- (x) - 1 (14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (14)$ .

$\frac{6 (- (x + 14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Перепишем $- (x + 14)$ в виде $- 1 (x + 14)$ .

$\frac{6 (- 1 (x + 14))}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$

Этап 7.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6 (x + 14)}{{(x - 7)}^{2} (x + 7)}$