Алгебра Примеры

${(\frac{1}{3})}^{2 x + 1} > \sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$

Этап 1

Поскольку радикал находится в правой части уравнения, поменяем стороны, чтобы он оказался в левой части.

$\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}} < {(\frac{1}{3})}^{2 x + 1}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{27}{3^{x - 1}}}$ в виде ${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(\frac{27}{3^{x - 1}})}^{1} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${({(\frac{1}{3})}^{2 x + 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1^{2 x + 1}}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Этап 3.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < {(\frac{1}{3^{2 x + 1}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{3^{2 x + 1}}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1^{2}}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{{(3^{2 x + 1})}^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Перемножим экспоненты в ${(3^{2 x + 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{(2 x + 1) \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{2 x \cdot 2 + 1 \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.5.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 1 \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.5.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{27}{3^{x - 1}} < \frac{1}{3^{4 x + 2}}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем логарифм обеих частей неравенства.

$\ln (\frac{27}{3^{x - 1}}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Этап 4.2

Перепишем $\ln (\frac{27}{3^{x - 1}})$ в виде $\ln (27) - \ln (3^{x - 1})$ .

$\ln (27) - \ln (3^{x - 1}) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Этап 4.3

Развернем $\ln (3^{x - 1})$ , вынося $x - 1$ из логарифма.

$\ln (27) - ((x - 1) \ln (3)) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Этап 4.4

Избавимся от скобок.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$

Этап 4.5

Перепишем $\ln (\frac{1}{3^{4 x + 2}})$ в виде $\ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - \ln (3^{4 x + 2})$

Этап 4.6

Развернем $\ln (3^{4 x + 2})$ , вынося $4 x + 2$ из логарифма.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < \ln (1) - ((4 x + 2) \ln (3))$

Этап 4.7

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < 0 - ((4 x + 2) \ln (3))$

Этап 4.8

Вычтем $(4 x + 2) \ln (3)$ из $0$ .

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - ((4 x + 2) \ln (3))$

Этап 4.9

Избавимся от скобок.

$\ln (27) - (x - 1) \ln (3) < - (4 x + 2) \ln (3)$

Этап 4.10

Решим неравенство относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Этап 4.10.1.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (27) + (- x + 1) \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Этап 4.10.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (27) - x \ln (3) + 1 \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Этап 4.10.1.1.4

Умножим $\ln (3)$ на $1$ .

$\ln (27) - x \ln (3) + \ln (3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Этап 4.10.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + \ln (27 \cdot 3) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Этап 4.10.1.3

Умножим $27$ на $3$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - (4 x + 2) \ln (3)$

Этап 4.10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- (4 x) - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Этап 4.10.2.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Этап 4.10.2.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = (- 4 x - 2) \ln (3)$

Этап 4.10.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \ln (3) + \ln (81) = - 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Этап 4.10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1

Упростим $- 4 x \ln (3) - 2 \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1.1.1

Упростим $- 4 \ln (3)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (3^{4})) - 2 \ln (3)$

Этап 4.10.3.1.1.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - 2 \ln (3)$

Этап 4.10.3.1.1.3

Упростим $- 2 \ln (3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (3^{2})$

Этап 4.10.3.1.1.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = x (- \ln (81)) - \ln (9)$

Этап 4.10.3.1.2

Изменим порядок множителей в $x (- \ln (81)) - \ln (9)$ .

$- x \ln (3) + \ln (81) = - x \ln (81) - \ln (9)$

Этап 4.10.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- x \ln (3) + \ln (81) + x \ln (81) + \ln (9) = 0$

Этап 4.10.5

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (81 \cdot 9) = 0$

Этап 4.10.6

Умножим $81$ на $9$ .

$- x \ln (3) + x \ln (81) + \ln (729) = 0$

Этап 4.10.7

Вычтем $\ln (729)$ из обеих частей уравнения.

$- x \ln (3) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Этап 4.10.8

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (3) + x \ln (81)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.8.1

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x \ln (81) = - \ln (729)$

Этап 4.10.8.2

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (81)$ .

$x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81)) = - \ln (729)$

Этап 4.10.8.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 1 \ln (3)) + x (\ln (81))$ .

$x (- 1 \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Этап 4.10.9

Перепишем $- 1 \ln (3)$ в виде $- \ln (3)$ .

$x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$

Этап 4.10.10

Разделим каждый член $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ на $- \ln (3) + \ln (81)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.10.1

Разделим каждый член $x (- \ln (3) + \ln (81)) = - \ln (729)$ на $- \ln (3) + \ln (81)$ .

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Этап 4.10.10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.10.2.1

Сократим общий множитель $- \ln (3) + \ln (81)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (- \ln (3) + \ln (81))}{- \ln (3) + \ln (81)} = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Этап 4.10.10.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Этап 4.10.10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.10.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Этап 4.10.10.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (3)$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) + \ln (81)}$

Этап 4.10.10.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\ln (81)$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- \ln (3) - 1 (- \ln (81))}$

Этап 4.10.10.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (3) - 1 (- \ln (81))$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- (\ln (3) - \ln (81))}$

Этап 4.10.10.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.10.3.5.1

Перепишем $- (\ln (3) - \ln (81))$ в виде $- 1 (\ln (3) - \ln (81))$ .

$x = - \frac{\ln (729)}{- 1 (\ln (3) - \ln (81))}$

Этап 4.10.10.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - - \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Этап 4.10.10.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Этап 4.10.10.3.5.4

Умножим $\frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Этап 5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{\ln (729)}{\ln (3) - \ln (81)})$

Этап 7