Алгебра Примеры

$\frac{x^{2} + x - 2}{x^{3} - x^{2} - x + 1}$

Этап 1

Разложим $x^{2} + x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $1$ .

$- 1, 2$

Этап 1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x^{3} - x^{2} - x + 1}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x^{3} - x^{2}) - x + 1}$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x^{2} (x - 1) - (x - 1)}$

Этап 2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$

Этап 2.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x^{2} - 1^{2})}$

Этап 2.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

Этап 2.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{1} (x - 1) (x + 1)}$

Этап 2.5.2

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x + 1)}$

Этап 2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{1 + 1} (x + 1)}$

Этап 2.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Этап 3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x - 1$ из ${(x - 1)}^{2} (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) ((x - 1) (x + 1))}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{(x - 1) ((x - 1) (x + 1))}$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x + 1)}$