Алгебра Примеры

$\frac{x^{4} - 49 x^{2}}{x^{3} + 2 x^{4} - 63 x}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - 49 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 49 x^{2}}{x^{3} + 2 x^{4} - 63 x}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 49 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 49}{x^{3} + 2 x^{4} - 63 x}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 49$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 49)}{x^{3} + 2 x^{4} - 63 x}$

Этап 1.2

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 7^{2})}{x^{3} + 2 x^{4} - 63 x}$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$\frac{x^{2} (x + 7) (x - 7)}{x^{3} + 2 x^{4} - 63 x}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 2 x^{4} - 63 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x + 7) (x - 7)}{x \cdot x^{2} + 2 x^{4} - 63 x}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (x + 7) (x - 7)}{x \cdot x^{2} + x (2 x^{3}) - 63 x}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 63 x$ .

$\frac{x^{2} (x + 7) (x - 7)}{x \cdot x^{2} + x (2 x^{3}) + x \cdot - 63}$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (2 x^{3})$ .

$\frac{x^{2} (x + 7) (x - 7)}{x (x^{2} + 2 x^{3}) + x \cdot - 63}$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 2 x^{3}) + x \cdot - 63$ .

$\frac{x^{2} (x + 7) (x - 7)}{x (x^{2} + 2 x^{3} - 63)}$

Этап 2.2

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} (x + 7) (x - 7)}{x (2 x^{3} + x^{2} - 63)}$

Этап 2.3

Разложим $2 x^{3} + x^{2} - 63$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 63, \pm 3, \pm 21, \pm 7, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.3.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 63, \pm 31.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 21, \pm 10.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 9, \pm 4.5$

Этап 2.3.3

Подставим $3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Подставим $3$ в многочлен.

$2 \cdot 3^{3} + 3^{2} - 63$

Этап 2.3.3.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$2 \cdot 27 + 3^{2} - 63$

Этап 2.3.3.3

Умножим $2$ на $27$ .

$54 + 3^{2} - 63$

Этап 2.3.3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$54 + 9 - 63$

Этап 2.3.3.5

Добавим $54$ и $9$ .

$63 - 63$

Этап 2.3.3.6

Вычтем $63$ из $63$ .

$0$

Этап 2.3.4

Поскольку $3$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 63}{x - 3}$

Этап 2.3.5

Разделим $2 x^{3} + x^{2} - 63$ на $x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$63$

Этап 2.3.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$

Этап 2.3.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			+	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 2.3.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 6 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Этап 2.3.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Этап 2.3.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.3.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 2.3.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$

Этап 2.3.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7 x^{2} - 21 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$

Этап 2.3.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$
							+	$21 x$

Этап 2.3.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$
							+	$21 x$	-	$63$

Этап 2.3.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $21 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	+	$21$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$
							+	$21 x$	-	$63$

Этап 2.3.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	+	$21$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$
							+	$21 x$	-	$63$
							+	$21 x$	-	$63$

Этап 2.3.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $21 x - 63$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	+	$21$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$
							+	$21 x$	-	$63$
							-	$21 x$	+	$63$

Этап 2.3.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	+	$21$
$x$	-	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$63$
			-	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$
							+	$21 x$	-	$63$
							-	$21 x$	+	$63$
										$0$

Этап 2.3.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + 7 x + 21$

Этап 2.3.6

Запишем $2 x^{3} + x^{2} - 63$ в виде набора множителей.

$\frac{x^{2} (x + 7) (x - 7)}{x ((x - 3) (2 x^{2} + 7 x + 21))}$

$\frac{x^{2} (x + 7) (x - 7)}{x (x - 3) (2 x^{2} + 7 x + 21)}$

Этап 3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (x + 7) (x - 7)$ .

$\frac{x ((x (x + 7)) (x - 7))}{x (x - 3) (2 x^{2} + 7 x + 21)}$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x (x - 3) (2 x^{2} + 7 x + 21)$ .

$\frac{x ((x (x + 7)) (x - 7))}{x ((x - 3) (2 x^{2} + 7 x + 21))}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x ((x (x + 7)) (x - 7))}{x ((x - 3) (2 x^{2} + 7 x + 21))}$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x (x + 7)) (x - 7)}{(x - 3) (2 x^{2} + 7 x + 21)}$

$\frac{x (x + 7) (x - 7)}{(x - 3) (2 x^{2} + 7 x + 21)}$