Алгебра Примеры

$\tan^{2} (θ) = \frac{3}{2} \sec (θ)$

Этап 1

Умножим каждый член на множитель $1$ , чтобы привести все дроби к общему знаменателю. В этом случае общий знаменатель равен $2$ .

$\tan^{2} (θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 2

Умножим это выражение на множитель $1$ , чтобы получить наименьшее общее кратное знаменателей (НОЗ) для $2$ .

$\tan^{2} (θ) \cdot 2$

Этап 3

Перенесем $2$ влево от $\tan^{2} (θ)$ .

$\frac{2 \tan^{2} (θ)}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4

Умножим это выражение на множитель $1$ , чтобы получить наименьшее общее кратное знаменателей (НОЗ) для $2$ .

$\sec (θ) \cdot 2$

Этап 5

Перенесем $2$ влево от $\sec (θ)$ .

$\frac{2 \tan^{2} (θ)}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 \sec (θ)}{2}$

Этап 6

Заменим $\tan^{2} (θ)$ на $\sec^{2} (θ) - 1$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (θ) - 1) \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 7

Разделим $2$ на $2$ .

$(\sec^{2} (θ) - 1) \cdot 1 = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 8

Умножим $\sec^{2} (θ) - 1$ на $1$ .

$\sec^{2} (θ) - 1 = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9

Подставим $u$ вместо $\sec (θ)$ .

${(u)}^{2} - 1 = \frac{3}{2} (u) \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10

Упростим $\frac{3}{2} u \cdot \frac{2}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем.

$u^{2} - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} u \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.2

Упростим путем добавления нулей.

$u^{2} - 1 = \frac{3}{2} u \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.3

Объединим $\frac{3}{2}$ и $u$ .

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 10.4.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2} \cdot 1$

Этап 10.5

Умножим $\frac{3 u}{2}$ на $1$ .

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2}$

Этап 11

Вычтем $\frac{3 u}{2}$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} - 1 - \frac{3 u}{2} = 0$

Этап 12

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

Этап 12.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 u^{2} - 2 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 u}{2}$ в числитель.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

Этап 12.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

Этап 12.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 u^{2} - 2 - 3 u = 0$

Этап 12.3

Перенесем $- 2$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Этап 13

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 14

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 3$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 15.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 15.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 15.1.3

Добавим $9$ и $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Этап 15.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 15.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Этап 15.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Этап 16

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 16.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 16.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 16.1.3

Добавим $9$ и $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Этап 16.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 16.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Этап 16.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Этап 16.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{3 + 5}{4}$

Этап 16.4

Добавим $3$ и $5$ .

$u = \frac{8}{4}$

Этап 16.5

Разделим $8$ на $4$ .

$u = 2$

Этап 17

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 17.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 17.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 17.1.3

Добавим $9$ и $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Этап 17.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 17.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Этап 17.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Этап 17.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{3 - 5}{4}$

Этап 17.4

Вычтем $5$ из $3$ .

$u = \frac{- 2}{4}$

Этап 17.5

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$u = \frac{2 (- 1)}{4}$

Этап 17.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 17.5.2.2

Сократим общий множитель.

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 17.5.2.3

Перепишем это выражение.

$u = \frac{- 1}{2}$

Этап 17.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{2}$

Этап 18

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 2, - \frac{1}{2}$

Этап 19

Подставим $\sec (θ)$ вместо $u$ .

$\sec (θ) = 2, - \frac{1}{2}$

Этап 20

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sec (θ) = 2$

$\sec (θ) = - \frac{1}{2}$

Этап 21

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (2)$

Этап 21.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.2.1

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Этап 21.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 21.4

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 21.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 21.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 21.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 21.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Этап 21.5

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 21.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 21.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 21.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 21.6

Период функции $\sec (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 22

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $- \frac{1}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 23

Перечислим все решения.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$