Алгебра Примеры

${(x + 3)}^{2} \geq 2 (x^{2} + 7)$

Этап 1

Упростим $2 (x^{2} + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(x + 3)}^{2} \geq 2 x^{2} + 2 \cdot 7$

Этап 1.2

Умножим $2$ на $7$ .

${(x + 3)}^{2} \geq 2 x^{2} + 14$

Этап 2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $2 x^{2}$ из обеих частей неравенства.

${(x + 3)}^{2} - 2 x^{2} \geq 14$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем ${(x + 3)}^{2}$ в виде $(x + 3) (x + 3)$ .

$(x + 3) (x + 3) - 2 x^{2} \geq 14$

Этап 2.2.2

Развернем $(x + 3) (x + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 2 x^{2} \geq 14$

Этап 2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 2 x^{2} \geq 14$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} \geq 14$

Этап 2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} \geq 14$

Этап 2.2.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} \geq 14$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 2 x^{2} \geq 14$

Этап 2.2.3.2

Добавим $3 x$ и $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 - 2 x^{2} \geq 14$

Этап 2.3

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x + 9 \geq 14$

Этап 3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} + 6 x + 9 = 14$

Этап 4

Вычтем $14$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} + 6 x + 9 - 14 = 0$

Этап 5

Вычтем $14$ из $9$ .

$- x^{2} + 6 x - 5 = 0$

Этап 6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 6 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 6 x - 5 = 0$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $6 x$ .

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 5 = 0$

Этап 6.1.3

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$- (x^{2}) - (- 6 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$- (x^{2} - 6 x) - 1 \cdot 5 = 0$

Этап 6.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 6 x) - 1 (5)$ .

$- (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Этап 6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разложим $x^{2} - 6 x + 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $5$ , а сумма — $- 6$ .

$- 5, - 1$

Этап 6.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Этап 6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 5) (x - 1) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 8

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 8.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 9

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 9.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 5) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 5, 1$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1$

$1 < x < 5$

$x > 5$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

${((0) + 3)}^{2} \geq 2 ({(0)}^{2} + 7)$

Этап 12.1.3

Левая часть $9$ меньше правой части $14$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $1 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

${((3) + 3)}^{2} \geq 2 ({(3)}^{2} + 7)$

Этап 12.2.3

Левая часть $36$ больше правой части $32$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $x > 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

${((8) + 3)}^{2} \geq 2 ({(8)}^{2} + 7)$

Этап 12.3.3

Левая часть $121$ меньше правой части $142$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1$ Ложь

$1 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

$x < 1$ Ложь

$1 < x < 5$ Истина

$x > 5$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$1 \leq x \leq 5$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$1 \leq x \leq 5$

Интервальное представление:

$[1, 5]$

Этап 15