Алгебра Примеры

$x - 6 > \frac{4}{x}$

Этап 1

Умножим обе части на $x$ .

$(x - 6) x = \frac{4}{x} x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $(x - 6) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x - 6 x = \frac{4}{x} x$

Этап 2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - 6 x = \frac{4}{x} x$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 6 x = \frac{4}{x} x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 6 x = 4$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 6 x - 4 = 0$

Этап 3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = - 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.3

Добавим $36$ и $16$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.4

Перепишем $52$ в виде $2^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$

Этап 3.4.3

Упростим $\frac{6 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{13}$

Этап 3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 3 + \sqrt{13}, 3 - \sqrt{13}$

Этап 4

Найдем область определения $x - 6 - \frac{4}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{4}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 3 - \sqrt{13}$

$3 - \sqrt{13} < x < 0$

$0 < x < 3 + \sqrt{13}$

$x > 3 + \sqrt{13}$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < 3 - \sqrt{13}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 3 - \sqrt{13}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$(- 3) - 6 > \frac{4}{- 3}$

Этап 6.1.3

Левая часть $- 9$ не больше правой части $- 1.\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $3 - \sqrt{13} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $3 - \sqrt{13} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.3$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $- 0.3$ в исходном неравенстве.

$(- 0.3) - 6 > \frac{4}{- 0.3}$

Этап 6.2.3

Левая часть $- 6.3$ больше правой части $- 13.\overline{3}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $0 < x < 3 + \sqrt{13}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 3 + \sqrt{13}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$(3) - 6 > \frac{4}{3}$

Этап 6.3.3

Левая часть $- 3$ не больше правой части $1.\overline{3}$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > 3 + \sqrt{13}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3 + \sqrt{13}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 9$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $9$ в исходном неравенстве.

$(9) - 6 > \frac{4}{9}$

Этап 6.4.3

Левая часть $3$ больше правой части $0.\overline{4}$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 3 - \sqrt{13}$ Ложь

$3 - \sqrt{13} < x < 0$ Истина

$0 < x < 3 + \sqrt{13}$ Ложь

$x > 3 + \sqrt{13}$ Истина

$x < 3 - \sqrt{13}$ Ложь

$3 - \sqrt{13} < x < 0$ Истина

$0 < x < 3 + \sqrt{13}$ Ложь

$x > 3 + \sqrt{13}$ Истина

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$3 - \sqrt{13} < x < 0$ или $x > 3 + \sqrt{13}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$3 - \sqrt{13} < x < 0 or x > 3 + \sqrt{13}$

Интервальное представление:

$(3 - \sqrt{13}, 0) \cup (3 + \sqrt{13}, \infty)$

Этап 9