Алгебра Примеры

$\frac{4}{5 x} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 x}$

Этап 1

Умножим обе части на $2 x$ .

$(\frac{4}{5 x} + \frac{1}{10}) (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $(\frac{4}{5 x} + \frac{1}{10}) (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4}{5 x} (2 x) + \frac{1}{10} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.1.1.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{10} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.1.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{2 (5)} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.1.1.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{2 (5)} (2 (x)) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.1.1.1.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{2 \cdot 5} (2 x) = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.1.1.1.3.4

Перепишем это выражение.

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{1}{5} x = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.1.1.1.4

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x$ .

$2 \frac{4}{5 x} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Умножим $2 \frac{4}{5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1.1

Объединим $2$ и $\frac{4}{5 x}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{5 x} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.1.1.2.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{8}{5 x} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.1.1.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$\frac{8}{x \cdot 5} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.1.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{x \cdot 5} x + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.1.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{5} + \frac{x}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.1.1.3

Изменим порядок $\frac{8}{5}$ и $\frac{x}{5}$ .

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3}{2 x} (2 x)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $\frac{3}{2 x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 2 \frac{3}{2 x} x$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 2 \frac{3}{2 (x)} x$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 2 \frac{3}{2 x} x$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3}{x} x$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3}{x} x$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{5} + \frac{8}{5} = 3$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $\frac{8}{5}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{5} = 3 - \frac{8}{5}$

Этап 3.1.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{5} = 3 \cdot \frac{5}{5} - \frac{8}{5}$

Этап 3.1.3

Объединим $3$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{5} = \frac{3 \cdot 5}{5} - \frac{8}{5}$

Этап 3.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x}{5} = \frac{3 \cdot 5 - 8}{5}$

Этап 3.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{x}{5} = \frac{15 - 8}{5}$

Этап 3.1.5.2

Вычтем $8$ из $15$ .

$\frac{x}{5} = \frac{7}{5}$

Этап 3.2

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = 7$

Этап 4

Найдем область определения $- \frac{7}{10 x} + \frac{1}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{7}{10 x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$10 x = 0$

Этап 4.2

Разделим каждый член $10 x = 0$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $10 x = 0$ на $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{10}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $0$ на $10$ .

$x = 0$

Этап 4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{5 (- 2)} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 (- 2)}$

Этап 6.1.3

Левая часть $- 0.3$ не меньше правой части $- 0.75$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{5 (4)} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 (4)}$

Этап 6.2.3

Левая часть $0.3$ меньше правой части $0.375$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 10$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $10$ в исходном неравенстве.

$\frac{4}{5 (10)} + \frac{1}{10} < \frac{3}{2 (10)}$

Этап 6.3.3

Левая часть $0.18$ не меньше правой части $0.15$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 7$ Истина

$x > 7$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 7$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < 7$

Интервальное представление:

$(0, 7)$

Этап 9