Алгебра Примеры

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Этап 1

Запишем $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ)$ как разность квадратов.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} - \cos^{2} (θ)$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \sqrt{\cos (θ)}$ и $b = \cos (θ)$ .

$(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ))$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

$\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ) = 0$

Этап 4

Приравняем $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ к $0$ .

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

Этап 4.2

Решим $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $\cos (θ)$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{\cos (θ)} = - \cos (θ)$

Этап 4.2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\cos (θ)}$ в виде ${\cos (θ)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Этап 4.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Упростим ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Этап 4.2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

Этап 4.2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\cos^{1} (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

Этап 4.2.3.2.1.2

Упростим.

$\cos (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

Этап 4.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Упростим ${(- \cos (θ))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1.1

Применим правило умножения к $- \cos (θ)$ .

$\cos (θ) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (θ)$

Этап 4.2.3.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\cos (θ) = 1 \cos^{2} (θ)$

Этап 4.2.3.3.1.3

Умножим $\cos^{2} (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) = \cos^{2} (θ)$

Этап 4.2.4

Решим относительно $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Вычтем $\cos^{2} (θ)$ из обеих частей уравнения.

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

Этап 4.2.4.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Пусть $u = \cos (θ)$ . Подставим $u$ вместо $\cos (θ)$ для всех.

$u - u^{2} = 0$

Этап 4.2.4.2.2

Вынесем множитель $u$ из $u - u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Этап 4.2.4.2.2.2

Вынесем множитель $u$ из $u^{1}$ .

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Этап 4.2.4.2.2.3

Вынесем множитель $u$ из $- u^{2}$ .

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Этап 4.2.4.2.2.4

Вынесем множитель $u$ из $u \cdot 1 + u (- u)$ .

$u (1 - u) = 0$

Этап 4.2.4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

Этап 4.2.4.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

Этап 4.2.4.4

Приравняем $\cos (θ)$ к $0$ .

$\cos (θ) = 0$

Этап 4.2.4.5

Приравняем $1 - \cos (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.1

Приравняем $1 - \cos (θ)$ к $0$ .

$1 - \cos (θ) = 0$

Этап 4.2.4.5.2

Решим $1 - \cos (θ) = 0$ относительно $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (θ) = - 1$

Этап 4.2.4.5.2.2

Разделим каждый член $- \cos (θ) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.2.2.1

Разделим каждый член $- \cos (θ) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.4.5.2.2.2.2

Разделим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 4.2.4.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.5.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\cos (θ) = 1$

Этап 4.2.4.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ верно.

$\cos (θ) = 0, 1$

Этап 4.2.5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\cos (θ) = 0$

$\cos (θ) = 1$

Этап 4.2.6

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (0)$

Этап 4.2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 4.2.6.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.6.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 4.2.6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 4.2.6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 4.2.6.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 4.2.6.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.6.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.6.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.7

Решим относительно $θ$ в $\cos (θ) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (1)$

Этап 4.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.2.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 4.2.7.3

$θ = 2 π - 0$

Этап 4.2.7.4

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$θ = 2 π$

Этап 4.2.7.5

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 4.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 4.2.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 4.2.7.6

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.8

Перечислим все решения.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.9

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.9.1

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4.2.9.2

Объединим $2 π n$ и $2 π + 2 π n$ в $2 π n$ .

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ)) = 0$ верно.

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ , для любого целого $n$