Алгебра Примеры

$f (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$ в виде уравнения.

$y = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}) = - 2 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Объединим $\sqrt{y + 3}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}) = - 2 x$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Этап 3.3.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Этап 3.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Этап 3.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$- - \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Этап 3.3.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Этап 3.3.1.3.2

Умножим $\sqrt{y + 3}$ на $1$ .

$\sqrt{y + 3} = - 2 x$

Этап 3.4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 3.5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 3}$ в виде ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 3.5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 3.5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 3)}^{1} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Упростим.

$y + 3 = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим ${(- 2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Применим правило умножения к $- 2 x$ .

$y + 3 = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Этап 3.5.3.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y + 3 = 4 x^{2}$

Этап 3.6

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = 4 x^{2} - 3$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$ обратной к $f (x) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 {(- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3})}^{2} - 3$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $\sqrt{x + 3}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 {(- \frac{\sqrt{x + 3}}{2})}^{2} - 3$

Этап 5.2.3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{x + 3}}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{x + 3}}{2})}^{2}) - 3$

Этап 5.2.3.2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{x + 3}}{2}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{x + 3}}^{2}}{2^{2}})) - 3$

Этап 5.2.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (1 (\frac{{\sqrt{x + 3}}^{2}}{2^{2}})) - 3$

Этап 5.2.3.4

Умножим $\frac{{\sqrt{x + 3}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{\sqrt{x + 3}}^{2}}{2^{2}}) - 3$

Этап 5.2.3.5

Перепишем ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ в виде $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) - 3$

Этап 5.2.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) - 3$

Этап 5.2.3.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 3$

Этап 5.2.3.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) - 3$

Этап 5.2.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{x + 3}{2^{2}}) - 3$

Этап 5.2.3.5.5

Упростим.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{x + 3}{2^{2}}) - 3$

Этап 5.2.3.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Этап 5.2.3.7

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = 4 (\frac{x + 3}{4}) - 3$

Этап 5.2.3.7.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = x + 3 - 3$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 3 - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $3$ из $3$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (4 x^{2} - 3)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(4 x^{2} - 3) + 3}$

Этап 5.3.3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2} + 0}$

Этап 5.3.3.2

Добавим $4 x^{2}$ и $0$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 x^{2}}$

Этап 5.3.4

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{(2 x)}^{2}}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (4 x^{2} - 3) = - \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (4 x^{2} - 3) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 x)$

Этап 5.3.6.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (4 x^{2} - 3) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (x))$

Этап 5.3.6.3

Сократим общий множитель.

$f (4 x^{2} - 3) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 x)$

Этап 5.3.6.4

Перепишем это выражение.

$f (4 x^{2} - 3) = - 1 \cdot x$

Этап 5.3.7

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$f (4 x^{2} - 3) = - x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$ — обратная к $f (x) = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x + 3}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$