Алгебра Примеры

$x^{6} - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$x^{6} - x^{4} + 2 x^{2} - 1$

Этап 2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{4} + 2 x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{4}$ .

$x^{6} - (x^{4}) + 2 x^{2} - 1$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x^{2}$ .

$x^{6} - (x^{4}) - (- 2 x^{2}) - 1$

Этап 2.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x^{6} - (x^{4}) - (- 2 x^{2}) - 1 (1)$

Этап 2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4}) - (- 2 x^{2})$ .

$x^{6} - (x^{4} - 2 x^{2}) - 1 (1)$

Этап 2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{4} - 2 x^{2}) - 1 (1)$ .

$x^{6} - (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

Этап 3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x^{6} - ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 1)$

Этап 4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x^{6} - (u^{2} - 2 u + 1)$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{6} - (u^{2} - 2 u + 1^{2})$

Этап 5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 5.3

Перепишем многочлен.

$x^{6} - (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})$

Этап 5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$x^{6} - {(u - 1)}^{2}$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x^{6} - {(x^{2} - 1)}^{2}$

Этап 7

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{6} - {(x^{2} - 1^{2})}^{2}$

Этап 8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x^{6} - {((x + 1) (x - 1))}^{2}$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим правило умножения к $(x + 1) (x - 1)$ .

$x^{6} - ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{6} - {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

Этап 10

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{3})}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

Этап 11

Перепишем ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ в виде ${((x + 1) (x - 1))}^{2}$ .

${(x^{3})}^{2} - {((x + 1) (x - 1))}^{2}$

Этап 12

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{3}$ и $b = (x + 1) (x - 1)$ .

$(x^{3} + (x + 1) (x - 1)) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} + x (x - 1) + 1 (x - 1)) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 13.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 13.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 13.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 13.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 13.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$(x^{3} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 13.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$(x^{3} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 13.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(x^{3} + x^{2} - x + x - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 13.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$(x^{3} + x^{2} + 0 - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 13.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - ((x + 1) (x - 1)))$

Этап 13.3

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x (x - 1) + 1 (x - 1)))$

Этап 13.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)))$

Этап 13.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1))$

Этап 13.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1))$

Этап 13.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1))$

Этап 13.4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1))$

Этап 13.4.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1))$

Этап 13.4.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - x + x - 1))$

Этап 13.4.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} + 0 - 1))$

Этап 13.4.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - (x^{2} - 1))$

Этап 13.5

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - x^{2} - - 1)$

Этап 13.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(x^{3} + x^{2} - 1) (x^{3} - x^{2} + 1)$