Алгебра Примеры

$f (x) = (4 x - 13) \ln ((2 x - 7) (x - 3))$

Этап 1

Приравняем $(4 x - 13) \ln ((2 x - 7) (x - 3))$ к $0$ .

$(4 x - 13) \ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x - 13 = 0$

$\ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$

Этап 2.2

Приравняем $4 x - 13$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Приравняем $4 x - 13$ к $0$ .

$4 x - 13 = 0$

Этап 2.2.2

Решим $4 x - 13 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $13$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 13$

Этап 2.2.2.2

Разделим каждый член $4 x = 13$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 13$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{13}{4}$

Этап 2.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{13}{4}$

Этап 2.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{13}{4}$

Этап 2.3

Приравняем $\ln ((2 x - 7) (x - 3))$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $\ln ((2 x - 7) (x - 3))$ к $0$ .

$\ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$

Этап 2.3.2

Решим $\ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln ((2 x - 7) (x - 3))} = e^{0}$

Этап 2.3.2.2

Перепишем $\ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = (2 x - 7) (x - 3)$

Этап 2.3.2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Перепишем уравнение в виде $(2 x - 7) (x - 3) = e^{0}$ .

$(2 x - 7) (x - 3) = e^{0}$

Этап 2.3.2.3.2

Упростим $(2 x - 7) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1

Развернем $(2 x - 7) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x (x - 3) - 7 (x - 3) = e^{0}$

Этап 2.3.2.3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 7 (x - 3) = e^{0}$

Этап 2.3.2.3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 7 x - 7 \cdot - 3 = e^{0}$

Этап 2.3.2.3.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 7 x - 7 \cdot - 3 = e^{0}$

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 7 x - 7 \cdot - 3 = e^{0}$

Этап 2.3.2.3.2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$2 x^{2} - 6 x - 7 x - 7 \cdot - 3 = e^{0}$

Этап 2.3.2.3.2.2.1.3

Умножим $- 7$ на $- 3$ .

$2 x^{2} - 6 x - 7 x + 21 = e^{0}$

Этап 2.3.2.3.2.2.2

Вычтем $7 x$ из $- 6 x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 21 = e^{0}$

Этап 2.3.2.3.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 x^{2} - 13 x + 21 = 1$

Этап 2.3.2.3.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} - 13 x + 21 - 1 = 0$

Этап 2.3.2.3.5

Вычтем $1$ из $21$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 0$

Этап 2.3.2.3.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 20 = 40$ , а сумма — $b = - 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.6.1.1

Вынесем множитель $- 13$ из $- 13 x$ .

$2 x^{2} - 13 x + 20 = 0$

Этап 2.3.2.3.6.1.2

Запишем $- 13$ как $- 5$ плюс $- 8$

$2 x^{2} + (- 5 - 8) x + 20 = 0$

Этап 2.3.2.3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 5 x - 8 x + 20 = 0$

Этап 2.3.2.3.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 5 x) - 8 x + 20 = 0$

Этап 2.3.2.3.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x - 5) - 4 (2 x - 5) = 0$

Этап 2.3.2.3.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 5$ .

$(2 x - 5) (x - 4) = 0$

Этап 2.3.2.3.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.3.2.3.8

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.8.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 2.3.2.3.8.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.8.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 2.3.2.3.8.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.8.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.3.2.3.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.3.2.3.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 2.3.2.3.9

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.9.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.3.2.3.9.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.3.2.3.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 5) (x - 4) = 0$ верно.

$x = \frac{5}{2}, 4$

Этап 2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 x - 13) \ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$ верно.

$x = \frac{13}{4}, \frac{5}{2}, 4$

Этап 2.5

Исключим решения, которые не делают $(4 x - 13) \ln ((2 x - 7) (x - 3)) = 0$ истинным.

$x = \frac{5}{2}, 4$

Этап 3