Алгебра Примеры

$\sqrt{x + 3} > \sqrt{9 - x^{2}}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x + 3}}^{2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 3}$ в виде ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 3)}^{1} > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x + 3 > {\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${\sqrt{9 - x^{2}}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x + 3 > {\sqrt{3^{2} - x^{2}}}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = x$ .

$x + 3 > {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$

Этап 2.3.1.3

Перепишем ${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ в виде $(3 + x) (3 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ в виде ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 3 > {({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$x + 3 > {((3 + x) (3 - x))}^{1}$

Этап 2.3.1.3.5

Упростим.

$x + 3 > (3 + x) (3 - x)$

Этап 2.3.1.4

Развернем $(3 + x) (3 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 3 > 3 (3 - x) + x (3 - x)$

Этап 2.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 3 > 3 \cdot 3 + 3 (- x) + x (3 - x)$

Этап 2.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 3 > 3 \cdot 3 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)$

Этап 2.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$x + 3 > 9 + 3 (- x) + x \cdot 3 + x (- x)$

Этап 2.3.1.5.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + x \cdot 3 + x (- x)$

Этап 2.3.1.5.1.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 \cdot x + x (- x)$

Этап 2.3.1.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - x \cdot x$

Этап 2.3.1.5.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.5.1.5.1

Перенесем $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - (x \cdot x)$

Этап 2.3.1.5.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 3 > 9 - 3 x + 3 x - x^{2}$

Этап 2.3.1.5.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$x + 3 > 9 + 0 - x^{2}$

Этап 2.3.1.5.3

Добавим $9$ и $0$ .

$x + 3 > 9 - x^{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $x^{2}$ к обеим частям неравенства.

$x + 3 + x^{2} > 9$

Этап 3.2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x + 3 + x^{2} = 9$

Этап 3.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x + 3 + x^{2} - 9 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $9$ из $3$ .

$x + x^{2} - 6 = 0$

Этап 3.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$u + u^{2} - 6 = 0$

Этап 3.5.2

Разложим $u + u^{2} - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 3.5.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 2) (u + 3) = 0$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x - 2) (x + 3) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 3.8

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 3) = 0$ верно.

$x = 2, - 3$

Этап 4

Найдем область определения $\sqrt{x + 3} - \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x + 3}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x + 3 \geq 0$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 3$

Этап 4.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Этап 4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Этап 4.4.2

Приравняем $3 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Приравняем $3 + x$ к $0$ .

$3 + x = 0$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4.4.3

Приравняем $3 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Приравняем $3 - x$ к $0$ .

$3 - x = 0$

Этап 4.4.3.2

Решим $3 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 4.4.3.2.2

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 4.4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 4.4.3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 4.4.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 4.4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ верно.

$x = - 3, 3$

Этап 4.4.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Этап 4.4.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 4.4.6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Этап 4.4.6.1.3

Левая часть $- 27$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.4.6.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.4.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Этап 4.4.6.2.3

Левая часть $9$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.4.6.3

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 4.4.6.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Этап 4.4.6.3.3

Левая часть $- 27$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.4.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 4.4.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 3 \leq x \leq 3$

Этап 4.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 3, 3]$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(- 6) + 3} > \sqrt{9 - {(- 6)}^{2}}$

Этап 6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $- 3 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(0) + 3} > \sqrt{9 - {(0)}^{2}}$

Этап 6.2.3

Левая часть $1.7320508$ не больше правой части $3$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2.5$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $2.5$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(2.5) + 3} > \sqrt{9 - {(2.5)}^{2}}$

Этап 6.3.3

Левая часть $2.34520787$ больше правой части $1.65831239$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 3$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{(6) + 3} > \sqrt{9 - {(6)}^{2}}$

Этап 6.4.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

$x < - 3$ Ложь

$- 3 < x < 2$ Ложь

$2 < x < 3$ Истина

$x > 3$ Ложь

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 < x < 3$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$2 < x < 3$

Интервальное представление:

$(2, 3)$

Этап 9