Алгебра Примеры

$\tan^{2} (θ) = - \frac{3}{2} \sec (θ)$

Этап 1

Заменим $\tan^{2} (θ)$ на $\sec^{2} (θ) - 1$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (θ) - 1 = - \frac{3}{2} \cdot \sec (θ)$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $\sec (θ)$ .

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{3}{2} u$

Этап 3

Упростим $- \frac{3}{2} u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем.

$u^{2} - 1 = 0 + 0 - \frac{3}{2} u$

Этап 3.2

Упростим путем добавления нулей.

$u^{2} - 1 = - \frac{3}{2} u$

Этап 3.3

Объединим $u$ и $\frac{3}{2}$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 3}{2}$

Этап 3.4

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$u^{2} - 1 = - \frac{3 u}{2}$

Этап 4

Добавим $\frac{3 u}{2}$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} - 1 + \frac{3 u}{2} = 0$

Этап 5

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 2 \cdot - 1 + 2 \frac{3 u}{2} = 0$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{3 u}{2} = 0$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{3 u}{2} = 0$

Этап 5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$2 u^{2} - 2 + 3 u = 0$

Этап 5.3

Перенесем $- 2$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Этап 6

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7

Подставим значения $a = 2$ , $b = 3$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.1.3

Добавим $9$ и $16$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 8.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm 5}{4}$

Этап 9

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Этап 10

Подставим $\sec (θ)$ вместо $u$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{2}, - 2$

Этап 11

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $θ$ .

$\sec (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - 2$

Этап 12

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $\frac{1}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 13

Решим относительно $θ$ в $\sec (θ) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $θ$ из-под знака секанса.

$θ = arcsec (- 2)$

Этап 13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Точное значение $arcsec (- 2)$ : $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 13.3

Функция секанса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Этап 13.4

Упростим $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 13.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Этап 13.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Этап 13.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Этап 13.4.3.2

Вычтем $2 π$ из $6 π$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Этап 13.5

Найдем период $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 13.6

Период функции $\sec (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 14

Перечислим все решения.

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$