Алгебра Примеры

$\frac{x + m}{m} - \frac{x + n}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - 2$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$m, n, m n, 1$

Этап 1.2

Так как $m, n, m n, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $m^{1}, n^{1}, m^{1}, n^{1}$ .

Этап 1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.6

Множителем $m^{1}$ является само значение $m$ .

$m^{1} = m$

$m$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $n^{1}$ является само значение $n$ .

$n^{1} = n$

$n$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

Множителем $m^{1}$ является само значение $m$ .

$m^{1} = m$

$m$ встречается $1$ раз.

Этап 1.9

Множителем $n^{1}$ является само значение $n$ .

$n^{1} = n$

$n$ встречается $1$ раз.

Этап 1.10

НОК $m^{1}, n^{1}, m^{1}, n^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$m \cdot n$

Этап 1.11

Умножим $m$ на $n$ .

$m n$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x + m}{m} - \frac{x + n}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - 2$ умножим на $m n$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x + m}{m} - \frac{x + n}{n} = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} - 2$ на $m n$ .

$\frac{x + m}{m} (m n) - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Вынесем множитель $m$ из $m n$ .

$\frac{x + m}{m} (m (n)) - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x + m}{m} (m n) - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$(x + m) n - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x n + m n - \frac{x + n}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x + n}{n}$ в числитель.

$x n + m n + \frac{- (x + n)}{n} (m n) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2.1.3.2

Вынесем множитель $n$ из $m n$ .

$x n + m n + \frac{- (x + n)}{n} (n m) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$x n + m n + \frac{- (x + n)}{n} (n m) = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$x n + m n - (x + n) m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x n + m n + (- x - n) m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x n + m n - x m - n m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2.2

Объединим противоположные члены в $x n + m n - x m - n m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Изменим порядок множителей в членах $m n$ и $- n m$ .

$x n + m n - x m - m n = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $m n$ из $m n$ .

$x n - x m + 0 = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.2.2.3

Добавим $x n - x m$ и $0$ .

$x n - x m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $m n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x n - x m = \frac{m^{2} + n^{2}}{m n} (m n) - 2 (m n)$

Этап 2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$x n - x m = m^{2} + n^{2} - 2 (m n)$

$x n - x m = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x n - x m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x n$ .

$x (n) - x m = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x m$ .

$x (n) + x (- 1 m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (n) + x (- 1 m)$ .

$x (n - 1 m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Этап 3.2

Перепишем $- 1 m$ в виде $- m$ .

$x (n - m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$

Этап 3.3

Разделим каждый член $x (n - m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$ на $n - m$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $x (n - m) = m^{2} + n^{2} - 2 m n$ на $n - m$ .

$\frac{x (n - m)}{n - m} = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} + \frac{- 2 m n}{n - m}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $n - m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (n - m)}{n - m} = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} + \frac{- 2 m n}{n - m}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} + \frac{- 2 m n}{n - m}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = \frac{m^{2}}{n - m} + \frac{n^{2}}{n - m} - \frac{2 m n}{n - m}$

Этап 3.3.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{m^{2} + n^{2}}{n - m} - \frac{2 m n}{n - m}$

Этап 3.3.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{m^{2} + n^{2} - 2 m n}{n - m}$

Этап 3.3.3.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Переставляем члены.

$x = \frac{m^{2} - 2 m n + n^{2}}{n - m}$

Этап 3.3.3.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 m n = 2 \cdot m \cdot n$

Этап 3.3.3.2.3

Перепишем многочлен.

$x = \frac{m^{2} - 2 \cdot m \cdot n + n^{2}}{n - m}$

Этап 3.3.3.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = m$ и $b = n$ .

$x = \frac{{(m - n)}^{2}}{n - m}$

Этап 3.3.3.3

Сократим общий множитель ${(m - n)}^{2}$ и $n - m$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $m$ .

$x = \frac{{(- 1 (- m) - n)}^{2}}{n - m}$

Этап 3.3.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- n$ .

$x = \frac{{(- 1 (- m) - (n))}^{2}}{n - m}$

Этап 3.3.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- m) - (n)$ .

$x = \frac{{(- 1 (- m + n))}^{2}}{n - m}$

Этап 3.3.3.3.4

Применим правило умножения к $- 1 (- m + n)$ .

$x = \frac{{(- 1)}^{2} {(- m + n)}^{2}}{n - m}$

Этап 3.3.3.3.5

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 {(- m + n)}^{2}}{n - m}$

Этап 3.3.3.3.6

Умножим ${(- m + n)}^{2}$ на $1$ .

$x = \frac{{(- m + n)}^{2}}{n - m}$

Этап 3.3.3.3.7

Изменим порядок членов.

$x = \frac{{(- m + n)}^{2}}{- m + n}$

Этап 3.3.3.3.8

Вынесем множитель $- m + n$ из ${(- m + n)}^{2}$ .

$x = \frac{(- m + n) (- m + n)}{- m + n}$

Этап 3.3.3.3.9

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.9.1

Умножим на $1$ .

$x = \frac{(- m + n) (- m + n)}{(- m + n) \cdot 1}$

Этап 3.3.3.3.9.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{(- m + n) (- m + n)}{(- m + n) \cdot 1}$

Этап 3.3.3.3.9.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- m + n}{1}$

Этап 3.3.3.3.9.4

Разделим $- m + n$ на $1$ .

$x = - m + n$