Алгебра Примеры

$\sqrt{x^{2} - x - 2} < \sqrt{x^{2} + 3 x + 2}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x^{2} - x - 2}}^{2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - x - 2}$ в виде ${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x^{2} - x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x^{2} - x - 2)}^{1} < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$x^{2} - x - 2 < {\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разложим $x^{2} + 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 2.3.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x^{2} - x - 2 < {\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ в виде ${((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - x - 2 < {({((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - x - 2 < {((x + 1) (x + 2))}^{1}$

Этап 2.3.1.2.5

Упростим.

$x^{2} - x - 2 < (x + 1) (x + 2)$

Этап 2.3.1.3

Развернем $(x + 1) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x - 2 < x (x + 2) + 1 (x + 2)$

Этап 2.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x - 2 < x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)$

Этап 2.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} - x - 2 < x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2$

Этап 2.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2$

Этап 2.3.1.4.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2$

Этап 2.3.1.4.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2$

Этап 2.3.1.4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 2 x + x + 2$

Этап 2.3.1.4.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$x^{2} - x - 2 < x^{2} + 3 x + 2$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} - x - 2 - x^{2} < 3 x + 2$

Этап 3.1.2

Вычтем $3 x$ из обеих частей неравенства.

$x^{2} - x - 2 - x^{2} - 3 x < 2$

Этап 3.1.3

Объединим противоположные члены в $x^{2} - x - 2 - x^{2} - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- x - 2 + 0 - 3 x < 2$

Этап 3.1.3.2

Добавим $- x - 2$ и $0$ .

$- x - 2 - 3 x < 2$

Этап 3.1.4

Вычтем $3 x$ из $- x$ .

$- 4 x - 2 < 2$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$- 4 x < 2 + 2$

Этап 3.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$- 4 x < 4$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- 4 x < 4$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- 4 x < 4$ на $- 4$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{4}{- 4}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{4}{- 4}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x > \frac{4}{- 4}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $4$ на $- 4$ .

$x > - 1$

Этап 4

Найдем область определения $\sqrt{(x - 2) (x + 1)} - \sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x - 2) (x + 1)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x - 2) (x + 1) \geq 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 1) \geq 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Этап 4.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$x > 2$

Этап 4.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 4.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$((- 4) - 2) ((- 4) + 1) \geq 0$

Этап 4.2.6.1.3

Левая часть $18$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.2.6.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) - 2) ((0) + 1) \geq 0$

Этап 4.2.6.2.3

Левая часть $- 2$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 4.2.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$((4) - 2) ((4) + 1) \geq 0$

Этап 4.2.6.3.3

Левая часть $10$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 4.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 1$ или $x \geq 2$

Этап 4.3

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 1) (x + 2)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 1) (x + 2) \geq 0$

Этап 4.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.4.2

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.4.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.4.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.4.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x + 2) \geq 0$ верно.

$x = - 1, - 2$

Этап 4.4.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$x > - 1$

Этап 4.4.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 4.4.6.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$((- 4) + 1) ((- 4) + 2) \geq 0$

Этап 4.4.6.1.3

Левая часть $6$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.4.6.2

Проверим значение на интервале $- 2 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1.5$

Этап 4.4.6.2.2

Заменим $x$ на $- 1.5$ в исходном неравенстве.

$((- 1.5) + 1) ((- 1.5) + 2) \geq 0$

Этап 4.4.6.2.3

Левая часть $- 0.25$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 4.4.6.3

Проверим значение на интервале $x > - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 4.4.6.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 1) ((0) + 2) \geq 0$

Этап 4.4.6.3.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 4.4.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < - 1$ Ложь

$x > - 1$ Истина

$x < - 2$ Истина

$- 2 < x < - 1$ Ложь

$x > - 1$ Истина

Этап 4.4.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 2$ или $x \geq - 1$

Этап 4.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2] \cup [- 1, - 1] \cup [2, \infty)$

Этап 5

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x > 2$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x > 2$

Интервальное представление:

$(2, \infty)$

Этап 7