Алгебра Примеры

$f (x) = - x^{5} + 52 x^{3} + 2 x^{2} - 147 x - 98$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$f (x) = 2 x^{2} - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Этап 2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} - 98$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$f (x) = 2 (x^{2}) - 98 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Этап 2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 98$ .

$f (x) = 2 x^{2} + 2 \cdot - 49 - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Этап 2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 \cdot - 49$ .

$f (x) = 2 (x^{2} - 49) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Этап 3

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$f (x) = 2 (x^{2} - 7^{2}) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$f (x) = 2 ((x + 7) (x - 7)) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) - x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$

Этап 5

Вынесем множитель $x$ из $- x^{5} + 52 x^{3} - 147 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x$ из $- x^{5}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + 52 x^{3} - 147 x$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x$ из $52 x^{3}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) - 147 x$

Этап 5.3

Вынесем множитель $x$ из $- 147 x$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4}) + x (52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Этап 5.4

Вынесем множитель $x$ из $x (- x^{4}) + x (52 x^{2})$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$

Этап 5.5

Вынесем множитель $x$ из $x (- x^{4} + 52 x^{2}) + x \cdot - 147$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{4} + 52 x^{2} - 147)$

Этап 6

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- {(x^{2})}^{2} + 52 x^{2} - 147)$

Этап 7

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 u - 147)$

Этап 8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 147 = 147$ , а сумма — $b = 52$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Вынесем множитель $52$ из $52 u$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 52 (u) - 147)$

Этап 8.1.2

Запишем $52$ как $3$ плюс $49$

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + (3 + 49) u - 147)$

Этап 8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- u^{2} + 3 u + 49 u - 147)$

Этап 8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u^{2} + 3 u) + 49 u - 147)$

Этап 8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (u (- u + 3) - 49 (- u + 3))$

Этап 8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u + 3$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- u + 3) (u - 49))$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 49))$

Этап 10

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x^{2} - 7^{2}))$

Этап 11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) ((x + 7) (x - 7)))$

Этап 11.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x ((- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7))$

Этап 11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = 2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Этап 12

Вынесем множитель $(x + 7) (x - 7)$ из $2 (x + 7) (x - 7) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $(x + 7) (x - 7)$ из $2 (x + 7) (x - 7)$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2) + x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$

Этап 12.2

Вынесем множитель $(x + 7) (x - 7)$ из $x (- x^{2} + 3) (x + 7) (x - 7)$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$

Этап 12.3

Вынесем множитель $(x + 7) (x - 7)$ из $(x + 7) (x - 7) (2) + (x + 7) (x - 7) (x (- x^{2} + 3))$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2} + 3))$

Этап 13

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 + x (- x^{2}) + x \cdot 3)$

Этап 14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + x \cdot 3)$

Этап 15

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x \cdot x^{2} + 3 \cdot x)$

Этап 16

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x) + 3 \cdot x)$

Этап 16.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - (x^{2} x) + 3 \cdot x)$

Этап 16.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x^{2 + 1} + 3 \cdot x)$

Этап 16.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 \cdot x)$

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (2 - x^{3} + 3 x)$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (- x^{3} + 3 x + 2)$

Этап 18

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Перепишем $- x^{3} + 3 x + 2$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Разложим $- x^{3} + 3 x + 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 18.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 18.1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

$- {(- 1)}^{3} + 3 \cdot - 1 + 2$

Этап 18.1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- - 1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Этап 18.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + 3 \cdot - 1 + 2$

Этап 18.1.1.3.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$1 - 3 + 2$

Этап 18.1.1.3.5

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 2 + 2$

Этап 18.1.1.3.6

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 18.1.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 3 x + 2}{x + 1}$

Этап 18.1.1.5

Разделим $- x^{3} + 3 x + 2$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Этап 18.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$

Этап 18.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 18.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} - x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 18.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Этап 18.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 18.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 18.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 18.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 18.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$

Этап 18.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 18.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 18.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 18.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x + 2$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 18.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Этап 18.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + x + 2$

Этап 18.1.1.6

Запишем $- x^{3} + 3 x + 2$ в виде набора множителей.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + x + 2))$

Этап 18.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + 1 x + 2))$

Этап 18.1.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} + (- 1 + 2) x + 2))$

Этап 18.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x^{2} - 1 x + 2 x + 2))$

Этап 18.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x^{2} - 1 x) + 2 x + 2))$

Этап 18.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (x (- x - 1) - 2 (- x - 1)))$

Этап 18.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) ((- x - 1) (x - 2)))$

Этап 18.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) ((x + 1) (- x - 1) (x - 2))$

Этап 18.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (x + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Этап 19

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) + 1) (- x - 1) (x - 2)$

Этап 19.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (- 1 (- x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1) (x - 2)$

Этап 19.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - 1 (- 1)$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) (- 1 (- x - 1)) (- x - 1) (x - 2)$

Этап 19.4

Избавимся от скобок.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 (- x - 1) (- x - 1) (x - 2))$

Этап 19.5

Возведем $- x - 1$ в степень $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 ((- x - 1) (- x - 1)) (x - 2))$

Этап 19.6

Возведем $- x - 1$ в степень $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 ((- x - 1) (- x - 1)) (x - 2))$

Этап 19.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 {(- x - 1)}^{1 + 1} (x - 2))$

Этап 19.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f (x) = (x + 7) (x - 7) \cdot (- 1 {(- x - 1)}^{2} (x - 2))$