Алгебра Примеры

$\log_{3} (x) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\log_{3} (x) - 3 \log_{3} (2) = 1$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $\log_{3} (x) - 3 \log_{3} (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Упростим $- 3 \log_{3} (2)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{3} (x) - \log_{3} (2^{3}) = 1$

Этап 2.1.1.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\log_{3} (x) - \log_{3} (8) = 1$

Этап 2.1.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x}{8}) = 1$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{3} (\frac{x}{8}) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x}{8}$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x}{8} = 3^{1}$ .

$\frac{x}{8} = 3$

Этап 2.3.2

Умножим обе части уравнения на $8$ .

$8 \frac{x}{8} = 8 \cdot 3^{1}$

Этап 2.3.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$8 \frac{x}{8} = 8 \cdot 3^{1}$

Этап 2.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 8 \cdot 3^{1}$

Этап 2.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Упростим $8 \cdot 3^{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Найдем экспоненту.

$x = 8 \cdot 3$

Этап 2.3.3.2.1.2

Умножим $8$ на $3$ .

$x = 24$

Этап 3

Найдем область определения $\log_{3} (\frac{x}{8}) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\log_{3} (\frac{x}{8})$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$\frac{x}{8} > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим обе части на $8$ .

$\frac{x}{8} \cdot 8 > 0 \cdot 8$

Этап 3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{8} \cdot 8 > 0 \cdot 8$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x > 0 \cdot 8$

Этап 3.2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Умножим $0$ на $8$ .

$x > 0$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 24$

$x > 24$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} (- 2) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Этап 5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 24$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 24$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} (2) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Этап 5.2.3

Левая часть $- 1.2618595$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $x > 24$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 24$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 26$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $26$ в исходном неравенстве.

$\log_{3} (26) - 3 \log_{3} (2) \leq 1$

Этап 5.3.3

Левая часть $1.07285801$ больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 24$ Истина

$x > 24$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 24$ Истина

$x > 24$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x \leq 24$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x \leq 24$

Интервальное представление:

$(0, 24]$

Этап 8