Алгебра Примеры

$f (x) = 2 {(x)}^{2} + 5 \sqrt{x + 2}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , вычислим неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x^{2} d x + \int 5 \sqrt{x + 2} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x^{2} d x + \int 5 \sqrt{x + 2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 \sqrt{x + 2} d x$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int \sqrt{x + 2} d x$

Этап 6

Пусть $u = x + 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 6.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int \sqrt{u} d u$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$2 (\frac{1}{3}) x^{3} + 5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + 5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.2

Объединим $5$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 9.2.3

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 11

Функция $F$ получается интегрированием производной функции. Это подтверждается основной теоремой математического анализа.

$F (x) = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{3} \cdot {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$