Алгебра Примеры

$4^{3 x + 2} = (x - 5) \cdot 8^{2 x}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (4^{3 x + 2}) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

Этап 2

Развернем $\ln (4^{3 x + 2})$ , вынося $3 x + 2$ из логарифма.

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

Этап 3

Перепишем $\ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$ в виде $\ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$ .

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$

Этап 4

Развернем $\ln (8^{2 x})$ , вынося $2 x$ из логарифма.

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $(3 x + 2) \ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \ln (4) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Этап 5.1.1.2

Упростим $3 \ln (4)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$x \ln (4^{3}) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Этап 5.1.1.3

Упростим $2 \ln (4)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x \ln (4^{3}) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Этап 5.1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.4.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$x \ln (64) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Этап 5.1.1.4.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $2 \ln (8)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (8^{2})$

Этап 5.2.1.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (64)$

Этап 5.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64) = 0$

Этап 5.4

Объединим противоположные члены в $x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $x \ln (64)$ из $x \ln (64)$ .

$0 + \ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $0$ и $\ln (16)$ .

$\ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

Этап 5.5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$

Этап 5.6

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{16}{x - 5})} = e^{0}$

Этап 5.7

Перепишем $\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{16}{x - 5}$

Этап 5.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{16}{x - 5} = e^{0}$ .

$\frac{16}{x - 5} = e^{0}$

Этап 5.8.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{16}{x - 5} = 1$

Этап 5.8.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 5, 1$

Этап 5.8.3.2

Избавимся от скобок.

$x - 5, 1$

Этап 5.8.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x - 5$

Этап 5.8.4

Каждый член в $\frac{16}{x - 5} = 1$ умножим на $x - 5$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1

Умножим каждый член $\frac{16}{x - 5} = 1$ на $x - 5$ .

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

Этап 5.8.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

Этап 5.8.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$16 = 1 (x - 5)$

Этап 5.8.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.3.1

Умножим $x - 5$ на $1$ .

$16 = x - 5$

Этап 5.8.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.5.1

Перепишем уравнение в виде $x - 5 = 16$ .

$x - 5 = 16$

Этап 5.8.5.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 16 + 5$

Этап 5.8.5.2.2

Добавим $16$ и $5$ .

$x = 21$