Алгебра Примеры

$h (x) = f (x) + g (x)$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $g (x)$ из обеих частей уравнения.

$y - g x = f (x)$

Этап 1.1.2

Изменим порядок $y$ и $- g x$ .

$- g x + y = f (x)$

Этап 1.2

Разделим каждый член на $f (x)$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{g x}{f (x)} + \frac{y}{f (x)} = \frac{f (x)}{f (x)}$

Этап 1.3

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{y}{f (x)} - \frac{g x}{f (x)} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \sqrt{f (x)}$

$b = \sqrt{f (x)}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(\sqrt{f (x)})}^{2} + {(\sqrt{f (x)})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем ${\sqrt{f (x)}}^{2}$ в виде $f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{f (x)}$ в виде ${f (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{({f (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{f (x)})}^{2}}$

Этап 5.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{{f (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{f (x)})}^{2}}$

Этап 5.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{{f (x)}^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{f (x)})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{{f (x)}^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{f (x)})}^{2}}$

Этап 5.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{{f (x)}^{1} + {(\sqrt{f (x)})}^{2}}$

Этап 5.3.1.5

Упростим.

$\sqrt{f (x) + {(\sqrt{f (x)})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Перепишем ${\sqrt{f (x)}}^{2}$ в виде $f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{f (x)}$ в виде ${f (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{f (x) + {({f (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{f (x) + {f (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{f (x) + {f (x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{f (x) + {f (x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{f (x) + {f (x)}^{1}}$

Этап 5.3.2.5

Упростим.

$\sqrt{f (x) + f (x)}$

Этап 5.3.3

Добавим $f (x)$ и $f (x)$ .

$\sqrt{2 f (x)}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\sqrt{f (x)}, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \sqrt{f (x)}, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(\sqrt{f (x)}, 0), (- \sqrt{f (x)}, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\sqrt{2 f x}, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \sqrt{2 f x}, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(\sqrt{2 f x}, 0), (- \sqrt{2 f x}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{f (x)})}^{2} + {(\sqrt{f (x)})}^{2}}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перепишем ${\sqrt{f (x)}}^{2}$ в виде $f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{f (x)}$ в виде ${f (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{({f (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{f (x)}}^{2}}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{{f (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{f (x)}}^{2}}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{{f (x)}^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{f (x)}}^{2}}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{{f (x)}^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{f (x)}}^{2}}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{{f (x)}^{1} + {\sqrt{f (x)}}^{2}}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.1.1.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{f (x) + {\sqrt{f (x)}}^{2}}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{f (x)}}^{2}$ в виде $f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{f (x)}$ в виде ${f (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{f (x) + {({f (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{f (x) + {f (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{f (x) + {f (x)}^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{f (x) + {f (x)}^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{f (x) + {f (x)}^{1}}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.1.2.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{f (x) + f (x)}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.1.3

Добавим $f (x)$ и $f (x)$ .

$\frac{\sqrt{2 f (x)}}{\sqrt{f (x)}}$

Этап 8.3.2

Объединим $\sqrt{2 f (x)}$ и $\sqrt{f (x)}$ под одним знаком корня.

$\sqrt{\frac{2 f (x)}{f (x)}}$

Этап 8.3.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Сократим выражение $\frac{2 f (x)}{f (x)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{\frac{2 f (x)}{f (x)}}$

Этап 8.3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{\frac{2}{1}}$

Этап 8.3.3.2

Разделим $2$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 9

Найдем фокальный параметр.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение фокального параметра гиперболы по следующей формуле.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Этап 9.2

Подставим значения $b$ и $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ в формулу.

$\frac{{\sqrt{f (x)}}^{2}}{\sqrt{2 f (x)}}$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем ${\sqrt{f (x)}}^{2}$ в виде $f (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{f (x)}$ в виде ${f (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({f (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{2 f x}}$

Этап 9.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{f (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{2 f x}}$

Этап 9.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{{f (x)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{2 f x}}$

Этап 9.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{f (x)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{2 f x}}$

Этап 9.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{f (x)}^{1}}{\sqrt{2 f x}}$

Этап 9.3.1.5

Упростим.

$\frac{f (x)}{\sqrt{2 f x}}$

Этап 9.3.2

Умножим $\frac{f (x)}{\sqrt{2 f x}}$ на $\frac{\sqrt{2 f x}}{\sqrt{2 f x}}$ .

$\frac{f (x)}{\sqrt{2 f x}} \cdot \frac{\sqrt{2 f x}}{\sqrt{2 f x}}$

Этап 9.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Умножим $\frac{f (x)}{\sqrt{2 f x}}$ на $\frac{\sqrt{2 f x}}{\sqrt{2 f x}}$ .

$\frac{f (x) \sqrt{2 f x}}{\sqrt{2 f x} \sqrt{2 f x}}$

Этап 9.3.3.2

Возведем $\sqrt{2 f x}$ в степень $1$ .

$\frac{f (x) \sqrt{2 f x}}{{\sqrt{2 f x}}^{1} \sqrt{2 f x}}$

Этап 9.3.3.3

Возведем $\sqrt{2 f x}$ в степень $1$ .

$\frac{f (x) \sqrt{2 f x}}{{\sqrt{2 f x}}^{1} {\sqrt{2 f x}}^{1}}$

Этап 9.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{f (x) \sqrt{2 f x}}{{\sqrt{2 f x}}^{1 + 1}}$

Этап 9.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{f (x) \sqrt{2 f x}}{{\sqrt{2 f x}}^{2}}$

Этап 9.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{2 f x}}^{2}$ в виде $2 f x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 f x}$ в виде ${(2 f x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{f (x) \sqrt{2 f x}}{{({(2 f x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 9.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{f (x) \sqrt{2 f x}}{{(2 f x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 9.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{f (x) \sqrt{2 f x}}{{(2 f x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f (x) \sqrt{2 f x}}{{(2 f x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 9.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{f (x) \sqrt{2 f x}}{{(2 f x)}^{1}}$

Этап 9.3.3.6.5

Упростим.

$\frac{f (x) \sqrt{2 f x}}{2 f x}$

Этап 9.3.4

Изменим порядок множителей в $\frac{f (x) \sqrt{2 f x}}{2 f x}$ .

$\frac{\sqrt{2 f x} f (x)}{2 f x}$

Этап 10

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Этап 11

Упростим $1 \cdot x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $1 \cdot x$ и $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Этап 11.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = x$

Этап 12

Упростим $- 1 \cdot x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $- 1 \cdot x$ и $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Этап 12.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x$

Этап 13

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = x, y = - x$

Этап 14

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(\sqrt{f (x)}, 0), (- \sqrt{f (x)}, 0)$

Фокусы: $(\sqrt{2 f x}, 0), (- \sqrt{2 f x}, 0)$

Эксцентриситет: $\sqrt{2}$

Фокальный параметр: $\frac{\sqrt{2 f x} f (x)}{2 f x}$

Асимптоты: $y = x$ , $y = - x$

Этап 15