Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{x} + 7}{\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1

Упростим $\frac{\sqrt{x} + 7}{\sqrt{x} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\sqrt{x} + 7}{\sqrt{x} + 1}$ на $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}$ .

$\frac{\sqrt{x} + 7}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{x} + 7}{\sqrt{x} + 1}$ на $\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} - 1)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 1 + \sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} - 1)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} - 1)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} - 1)}{x^{\frac{2}{2}} - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} - 1)}{x^{\frac{2}{2}} - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} - 1)}{x^{1} - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.2.3.5

Упростим.

$\frac{(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} - 1)}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.3

Развернем $(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) + 7 (\sqrt{x} - 1)}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 1 + 7 (\sqrt{x} - 1)}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 1 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot - 1 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.1.1.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$\frac{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1} + \sqrt{x} \cdot - 1 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot - 1 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 1 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.1.2

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot - 1 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot - 1 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 1 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot - 1 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{1} + \sqrt{x} \cdot - 1 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.1.2.5

Упростим.

$\frac{x + \sqrt{x} \cdot - 1 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $\sqrt{x}$ .

$\frac{x - 1 \cdot \sqrt{x} + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.1.4

Перепишем $- 1 \sqrt{x}$ в виде $- \sqrt{x}$ .

$\frac{x - \sqrt{x} + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.1.5

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{x - \sqrt{x} + 7 \sqrt{x} - 7}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.4.2

Добавим $- \sqrt{x}$ и $7 \sqrt{x}$ .

$\frac{x + 6 \sqrt{x} - 7}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + 6 x^{\frac{1}{2}} - 7}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.5.2

Перепишем $x$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6 x^{\frac{1}{2}} - 7}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.5.3

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$\frac{u^{2} + 6 u - 7}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.5.4

Разложим $u^{2} + 6 u - 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 7$ , а сумма — $6$ .

$- 1, 7$

Этап 1.5.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(u - 1) (u + 7)}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 1.5.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Этап 2

Упростим $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ на $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$

Этап 2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ на $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}$

Этап 2.2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} - \sqrt{x} - 1}$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1}$

Этап 2.2.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1}$

Этап 2.2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x^{\frac{2}{2}} - 1}$

Этап 2.2.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x^{\frac{2}{2}} - 1}$

Этап 2.2.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x^{1} - 1}$

Этап 2.2.3.5

Упростим.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} + 1)}{x - 1}$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $\sqrt{x} + 1$ в степень $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{1} (\sqrt{x} + 1)}{x - 1}$

Этап 2.3.2

Возведем $\sqrt{x} + 1$ в степень $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{1} {(\sqrt{x} + 1)}^{1}}{x - 1}$

Этап 2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{1 + 1}}{x - 1}$

Этап 2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (x^{\frac{1}{2}} + 7)}{x - 1} = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}}{x - 1}$

Этап 3

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = 4$

Этап 4