Алгебра Примеры

$f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$

Этап 1

Запишем $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ в виде уравнения.

$y = 500 (0.04 - x^{2})$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 500 (0.04 - y^{2})$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $500 (0.04 - y^{2}) = x$ .

$500 (0.04 - y^{2}) = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $500 (0.04 - y^{2}) = x$ на $500$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $500 (0.04 - y^{2}) = x$ на $500$ .

$\frac{500 (0.04 - y^{2})}{500} = \frac{x}{500}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{500 (0.04 - y^{2})}{500} = \frac{x}{500}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $0.04 - y^{2}$ на $1$ .

$0.04 - y^{2} = \frac{x}{500}$

Этап 3.3

Вычтем $0.04$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$

Этап 3.4

Разделим каждый член $- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Этап 3.4.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{x}{500}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot \frac{x}{500} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Этап 3.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{x}{500}$ в виде $- \frac{x}{500}$ .

$y^{2} = - \frac{x}{500} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Этап 3.4.3.1.3

Разделим $- 0.04$ на $- 1$ .

$y^{2} = - \frac{x}{500} + 0.04$

Этап 3.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04}$

Этап 3.6

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы записать $0.04$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{500}{500}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04 \cdot \frac{500}{500}}$

Этап 3.6.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Объединим $0.04$ и $\frac{500}{500}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + \frac{0.04 \cdot 500}{500}}$

Этап 3.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 0.04 \cdot 500}{500}}$

Этап 3.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Вынесем множитель $0.04$ из $- x + 0.04 \cdot 500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1.1

Вынесем множитель $0.04$ из $- x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x) + 0.04 \cdot 500}{500}}$

Этап 3.6.3.1.2

Вынесем множитель $0.04$ из $0.04 \cdot 500$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x) + 0.04 (500)}{500}}$

Этап 3.6.3.1.3

Вынесем множитель $0.04$ из $0.04 (- 25 x) + 0.04 (500)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x + 500)}{500}}$

Этап 3.6.3.2

Вынесем множитель $25$ из $- 25 x + 500$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1

Вынесем множитель $25$ из $- 25 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x) + 500)}{500}}$

Этап 3.6.3.2.2

Вынесем множитель $25$ из $500$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x) + 25 (20))}{500}}$

Этап 3.6.3.2.3

Вынесем множитель $25$ из $25 (- x) + 25 (20)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x + 20))}{500}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 \cdot 25 (- x + 20)}{500}}$

Этап 3.6.3.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.3.1

Умножим $0.04$ на $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1 (- x + 20)}{500}}$

Этап 3.6.3.3.2

Умножим $- x + 20$ на $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 20}{500}}$

Этап 3.6.4

Перепишем $\frac{- x + 20}{500}$ в виде ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{- x + 20}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $- x + 20$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 20)}{500}}$

Этап 3.6.4.2

Вынесем полную степень $10^{2}$ из $500$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 20)}{10^{2} \cdot 5}}$

Этап 3.6.4.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (- x + 20)}{10^{2} \cdot 5}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{- x + 20}{5}}$

Этап 3.6.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{- x + 20}{5}}$

Этап 3.6.6

Перепишем $\sqrt{\frac{- x + 20}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$

Этап 3.6.7

Умножим $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 3.6.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.8.1

Умножим $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 3.6.8.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 3.6.8.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 3.6.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 3.6.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 3.6.8.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.6.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.6.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.6.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.6.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 3.6.8.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5}$

Этап 3.6.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$

Этап 3.6.10

Умножим $\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.10.1

Умножим $\frac{1}{10}$ на $\frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

Этап 3.6.10.2

Умножим $10$ на $5$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{50}$

Этап 3.6.11

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{50}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Этап 3.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Этап 3.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Этап 3.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ обратной к $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 20]$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{5 (- x + 20)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$5 (- x + 20) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $5 (- x + 20) \geq 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $5 (- x + 20) \geq 0$ на $5$ .

$\frac{5 (- x + 20)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- x + 20)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Этап 5.3.2.1.2.1.2

Разделим $- x + 20$ на $1$ .

$- x + 20 \geq \frac{0}{5}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$- x + 20 \geq 0$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $20$ из обеих частей неравенства.

$- x \geq - 20$

Этап 5.3.2.3

Разделим каждый член $- x \geq - 20$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим каждый член $- x \geq - 20$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{- 20}{- 1}$

Этап 5.3.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.3.1

Разделим $- 20$ на $- 1$ .

$x \leq 20$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 20]$

Этап 5.4

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ не совпадает со множеством значений $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ не является функцией, обратной к $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

Обратная не существует

Этап 6