Алгебра Примеры

$\frac{5}{3 - i} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{5}{3 - i}$ на комплексно сопряженное $3 - i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{5}{3 - i} \cdot \frac{3 + i}{3 + i} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{5 (3 + i)}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 \cdot 3 + 5 i}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.2.2

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 + 5 i}{(3 - i) (3 + i)} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Развернем $(3 - i) (3 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 + 5 i}{3 (3 + i) - i (3 + i)} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 + 5 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i (3 + i)} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{15 + 5 i}{3 \cdot 3 + 3 i - i \cdot 3 - i i} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{15 + 5 i}{9 + 3 i - i \cdot 3 - i i} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{15 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - i i} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.2.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i)} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.2.4

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - (i^{1} i^{1})} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{15 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{1 + 1}} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{9 + 3 i - 3 i - i^{2}} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.2.7

Вычтем $3 i$ из $3 i$ .

$\frac{15 + 5 i}{9 + 0 - i^{2}} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.2.8

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{15 + 5 i}{9 - i^{2}} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{15 + 5 i}{9 - - 1} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{15 + 5 i}{9 + 1} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.2.3.4

Добавим $9$ и $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{10} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $15 + 5 i$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 5 i}{10} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $5$ из $5 i$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 5 (i)}{10} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot 3 + 5 (i)$ .

$\frac{5 \cdot (3 + i)}{10} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.3.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 \cdot (3 + i)}{5 (2)} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot (3 + i)}{5 \cdot 2} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 + i}{2} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.4

Разобьем дробь $\frac{3 + i}{2}$ на две дроби.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{2}{3 + i}$

Этап 1.5

Умножим числитель и знаменатель $\frac{2}{3 + 1 i}$ на комплексно сопряженное $3 + 1 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{2}{3 + 1 i} \cdot \frac{3 - i}{3 - i}$

Этап 1.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{2 (3 - i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Этап 1.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{2 \cdot 3 + 2 (- i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Этап 1.6.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 + 2 (- i)}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Этап 1.6.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{(3 + 1 i) (3 - i)}$

Этап 1.6.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Развернем $(3 + 1 i) (3 - i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{3 (3 - i) + 1 i (3 - i)}$

Этап 1.6.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{3 \cdot 3 + 3 (- i) + 1 i (3 - i)}$

Этап 1.6.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{3 \cdot 3 + 3 (- i) + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}$

Этап 1.6.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{9 + 3 (- i) + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}$

Этап 1.6.3.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{9 - 3 i + 1 i \cdot 3 + 1 i (- i)}$

Этап 1.6.3.2.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{9 - 3 i + 3 i + 1 i (- i)}$

Этап 1.6.3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{9 - 3 i + 3 i - i i}$

Этап 1.6.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{9 - 3 i + 3 i - (i^{1} i)}$

Этап 1.6.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{9 - 3 i + 3 i - (i^{1} i^{1})}$

Этап 1.6.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{9 - 3 i + 3 i - i^{1 + 1}}$

Этап 1.6.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{9 - 3 i + 3 i - i^{2}}$

Этап 1.6.3.2.9

Добавим $- 3 i$ и $3 i$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{9 + 0 - i^{2}}$

Этап 1.6.3.2.10

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{9 - i^{2}}$

Этап 1.6.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{9 - - 1}$

Этап 1.6.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{9 + 1}$

Этап 1.6.3.4

Добавим $9$ и $1$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{6 - 2 i}{10}$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $6 - 2 i$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{2 (3) - 2 i}{10}$

Этап 1.7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 i$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{2 (3) + 2 (- i)}{10}$

Этап 1.7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (- i)$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{2 (3 - i)}{10}$

Этап 1.7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{2 (3 - i)}{2 \cdot 5}$

Этап 1.7.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{2 (3 - i)}{2 \cdot 5}$

Этап 1.7.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{3 - i}{5}$

Этап 1.8

Разобьем дробь $\frac{3 - i}{5}$ на две дроби.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{3}{5} + \frac{- i}{5}$

Этап 1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{2} + \frac{i}{2} + \frac{3}{5} - \frac{i}{5}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{5} + \frac{i}{2} - \frac{i}{5}$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{3}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{i}{2} - \frac{i}{5}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{i}{2} - \frac{i}{5}$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{3 \cdot 5}{10} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{2} + \frac{i}{2} - \frac{i}{5}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{3}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{10} + \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{i}{2} - \frac{i}{5}$

Этап 4.4

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{3 \cdot 5}{10} + \frac{3 \cdot 2}{10} + \frac{i}{2} - \frac{i}{5}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{10} + \frac{i}{2} - \frac{i}{5}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{15 + 3 \cdot 2}{10} + \frac{i}{2} - \frac{i}{5}$

Этап 6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{15 + 6}{10} + \frac{i}{2} - \frac{i}{5}$

Этап 6.3

Добавим $15$ и $6$ .

$\frac{21}{10} + \frac{i}{2} - \frac{i}{5}$

Этап 7

Чтобы записать $\frac{i}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{10} + \frac{i}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{i}{5}$

Этап 8

Чтобы записать $- \frac{i}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{10} + \frac{i}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{i}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{i}{2}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{10} + \frac{i \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{i}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{21}{10} + \frac{i \cdot 5}{10} - \frac{i}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 9.3

Умножим $\frac{i}{5}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{10} + \frac{i \cdot 5}{10} - \frac{i \cdot 2}{5 \cdot 2}$

Этап 9.4

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{21}{10} + \frac{i \cdot 5}{10} - \frac{i \cdot 2}{10}$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{21}{10} + \frac{3 i}{10}$