Алгебра Примеры

$\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} > \frac{5}{x}$

Этап 1

Умножим обе части на $x$ .

$(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x = \frac{5}{x} x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} x + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

Этап 2.1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

Этап 2.1.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

Этап 2.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

Этап 2.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2, x, 1$

Этап 3.1.2

Так как $2, x, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $2, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{1}$ .

Этап 3.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.1.4

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 3.1.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.1.6

НОК $2, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2$

Этап 3.1.7

Множителем $x^{1}$ является само значение $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ встречается $1$ раз.

Этап 3.1.8

НОК $x^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x$

Этап 3.1.9

НОК $2, x, 1$ представляет собой произведение числовой части $2$ и переменной части.

$2 x$

Этап 3.2

Каждый член в $\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ умножим на $2 x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ на $2 x$ .

$\frac{x}{2} (2 x) + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Этап 3.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x \cdot x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Этап 3.2.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} + 2 \frac{12}{x} x = 5 (2 x)$

Этап 3.2.2.1.5

Умножим $2 \frac{12}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.1

Объединим $2$ и $\frac{12}{x}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot 12}{x} x = 5 (2 x)$

Этап 3.2.2.1.5.2

Умножим $2$ на $12$ .

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

Этап 3.2.2.1.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

Этап 3.2.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} + 24 = 5 (2 x)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $2$ на $5$ .

$x^{2} + 24 = 10 x$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $10 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 24 - 10 x = 0$

Этап 3.3.2

Разложим $x^{2} + 24 - 10 x$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $24$ , а сумма — $- 10$ .

$- 6, - 4$

Этап 3.3.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x - 4) = 0$

Этап 3.3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 3.3.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 3.3.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 3.3.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 3.3.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 3.3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x - 4) = 0$ верно.

$x = 6, 4$

Этап 4

Найдем область определения $\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} - \frac{5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим знаменатель в $\frac{12}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Этап 6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(- 2)}^{2}} > \frac{5}{- 2}$

Этап 6.1.3

Левая часть $3.5$ больше правой части $- 2.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 6.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(2)}^{2}} > \frac{5}{2}$

Этап 6.2.3

Левая часть $3.5$ больше правой части $2.5$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.3

Проверим значение на интервале $4 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Выберем значение на интервале $4 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$

Этап 6.3.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(5)}^{2}} > \frac{5}{5}$

Этап 6.3.3

Левая часть $0.98$ не больше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 6.4

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 6.4.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(8)}^{2}} > \frac{5}{8}$

Этап 6.4.3

Левая часть $0.6875$ больше правой части $0.625$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 6.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 4$ Истина

$4 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 4$ Истина

$4 < x < 6$ Ложь

$x > 6$ Истина

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $0 < x < 4$ или $x > 6$

Этап 8

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (6, \infty)$

Этап 9