Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{x - 2} + 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{\frac{1}{2}} + 3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 1.2

Добавим ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ и $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 4}$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{4 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 3

Перенесем ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{4}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 4

Умножим ${(x - 2)}^{2}$ на ${(x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4}{{(x - 2)}^{2 - \frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{{(x - 2)}^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{{(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{{(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}$

Этап 4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4}{{(x - 2)}^{\frac{4 - 1}{2}}}$

Этап 4.5.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$\frac{4}{{(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}$