Алгебра Примеры

$12^{3 x + 4} \leq 2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей неравенства.

$\ln (12^{3 x + 4}) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

Этап 2

Развернем $\ln (12^{3 x + 4})$ , вынося $3 x + 4$ из логарифма.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

Этап 3

Перепишем $\ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$ в виде $\ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$ .

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$

Этап 4

Развернем $\ln (2^{5 x + 3})$ , вынося $5 x + 3$ из логарифма.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + \ln (3^{2 x - 1})$

Этап 5

Развернем $\ln (3^{2 x - 1})$ , вынося $2 x - 1$ из логарифма.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Этап 6

Решим неравенство относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Упростим $(3 x + 4) \ln (12)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \ln (12) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Этап 6.1.1.2

Упростим $3 \ln (12)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$x \ln (12^{3}) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Этап 6.1.1.3

Упростим $4 \ln (12)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$x \ln (12^{3}) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Этап 6.1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.1

Возведем $12$ в степень $3$ .

$x \ln (1728) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Этап 6.1.1.4.2

Возведем $12$ в степень $4$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим $(5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq 5 x \ln (2) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Этап 6.2.1.1.2

Упростим $5 \ln (2)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Этап 6.2.1.1.3

Упростим $3 \ln (2)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

Этап 6.2.1.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.4.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

Этап 6.2.1.1.4.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + (2 x - 1) \ln (3)$

Этап 6.2.1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + 2 x \ln (3) - 1 \ln (3)$

Этап 6.2.1.1.6

Упростим $2 \ln (3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - 1 \ln (3)$

Этап 6.2.1.1.7

Перепишем $- 1 \ln (3)$ в виде $- \ln (3)$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - \ln (3)$

Этап 6.2.1.1.8

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (9) - \ln (3)$

Этап 6.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + x \ln (9) + \ln (\frac{8}{3})$

Этап 6.3

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (1728) + \ln (20736) - x \ln (32) - x \ln (9) - \ln (\frac{8}{3}) = 0$

Этап 6.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (\frac{20736}{\frac{8}{3}}) = 0$

Этап 6.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (20736 (\frac{3}{8})) = 0$

Этап 6.5.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вынесем множитель $8$ из $20736$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 (2592) (\frac{3}{8})) = 0$

Этап 6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 \cdot (2592 (\frac{3}{8}))) = 0$

Этап 6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (2592 \cdot 3) = 0$

Этап 6.5.3

Умножим $2592$ на $3$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (7776) = 0$

Этап 6.6

Вычтем $\ln (7776)$ из обеих частей уравнения.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Этап 6.7

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (1728)$ .

$x (\ln (1728)) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Этап 6.7.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (32)$ .

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Этап 6.7.3

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (9)$ .

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Этап 6.7.4

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32))$ .

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Этап 6.7.5

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9))$ .

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Этап 6.8

Перепишем $- 1 \ln (32)$ в виде $- \ln (32)$ .

$x (\ln (1728) - \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Этап 6.9

Перепишем $- 1 \ln (9)$ в виде $- \ln (9)$ .

$x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$

Этап 6.10

Разделим каждый член $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ на $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Разделим каждый член $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ на $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ .

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Этап 6.10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.1

Сократим общий множитель $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Этап 6.10.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Этап 6.10.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Этап 7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}]$

Этап 9