Алгебра Примеры

$y = \sqrt{x} + 8$ , $y \geq 8$

Этап 1

Запишем $y = \sqrt{x} + 8$ в виде функции.

$f (x) = \sqrt{x} + 8$

Этап 2

Найдем множество значений заданной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

$[2 \sqrt{2} + 8, \infty)$

Этап 2.2

Преобразуем $[2 \sqrt{2} + 8, \infty)$ в неравенство.

$y \geq 2 \sqrt{2} + 8$

Этап 3

Найдем обратную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt{y} + 8$

Этап 3.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{y} + 8 = x$ .

$\sqrt{y} + 8 = x$

Этап 3.2.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{y} = x - 8$

Этап 3.2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Этап 3.2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y}$ в виде $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Этап 3.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Этап 3.2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Этап 3.2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Этап 3.2.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(x - 8)}^{2}$

Этап 3.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1

Упростим ${(x - 8)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1.1

Перепишем ${(x - 8)}^{2}$ в виде $(x - 8) (x - 8)$ .

$y = (x - 8) (x - 8)$

Этап 3.2.4.3.1.2

Развернем $(x - 8) (x - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x (x - 8) - 8 (x - 8)$

Этап 3.2.4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)$

Этап 3.2.4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Этап 3.2.4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Этап 3.2.4.3.1.3.1.2

Перенесем $- 8$ влево от $x$ .

$y = x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8$

Этап 3.2.4.3.1.3.1.3

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$y = x^{2} - 8 x - 8 x + 64$

Этап 3.2.4.3.1.3.2

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$y = x^{2} - 16 x + 64$

Этап 3.3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 16 x + 64$

Этап 4

Найдем обратную функцию, используя область определения и множество значений исходной функции.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 16 x + 64, x \geq 2 \sqrt{2} + 8$

Этап 5