Алгебра Примеры

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (θ)$

Этап 1

Умножим каждый член на множитель $1$ , чтобы привести все дроби к общему знаменателю. В этом случае общий знаменатель равен $3$ .

$\tan (θ) \cdot \frac{3}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2

Умножим это выражение на множитель $1$ , чтобы получить наименьшее общее кратное знаменателей (НОЗ) для $3$ .

$\tan (θ) \cdot 3$

Этап 3

Перенесем $3$ влево от $\tan (θ)$ .

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4

Умножим это выражение на множитель $1$ , чтобы получить наименьшее общее кратное знаменателей (НОЗ) для $3$ .

$\sin (θ) \cdot 3$

Этап 5

Перенесем $3$ влево от $\sin (θ)$ .

$\frac{3 \tan (θ)}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3 \sin (θ)}{3}$

Этап 6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $\tan (θ) \cdot \frac{3}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разделим $3$ на $3$ .

$\tan (θ) \cdot 1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.1.2

Умножим $\tan (θ)$ на $1$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \sin (θ) \cdot \frac{3}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ и $\sin (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 7.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot 1$

Этап 7.1.3

Умножим $\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ на $1$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

Этап 8

Разделим каждый член $\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ на $\tan (θ)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ на $\tan (θ)$ .

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{\tan (θ)}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $\tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{\tan (θ)}$

Этап 8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{\tan (θ)}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим дроби.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} \cdot \frac{1}{\tan (θ)}$

Этап 8.3.2

Выразим $\tan (θ)$ через синусы и косинусы.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Этап 8.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} (1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Этап 8.3.4

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} (\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Этап 8.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.5.1

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} (1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Этап 8.3.5.2

Умножим $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ на $1$ .

$1 = \frac{\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 8.3.6

Разделим $\frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$ на $1$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 8.3.7

Сократим общий множитель $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Вынесем множитель $\sin (θ)$ из $2 \sqrt{3} \sin (θ)$ .

$1 = \frac{\sin (θ) (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 8.3.7.2

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{\sin (θ) (2 \sqrt{3})}{3} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Этап 8.3.7.3

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cos (θ)$

Этап 8.3.8

Объединим $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ и $\cos (θ)$ .

$1 = \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}$

Этап 9

Перепишем уравнение в виде $\frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = 1$

Этап 10

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ .

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 11

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Упростим $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{2 \sqrt{3} \cos (θ)}{3} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 11.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (θ)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 11.1.1.2

Сократим общий множитель $2 \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1.2.1

Вынесем множитель $2 \sqrt{3}$ из $2 \sqrt{3} \cos (θ)$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (θ)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 11.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \sqrt{3}} (2 \sqrt{3} \cos (θ)) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 11.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим $\frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 11.2.1.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Умножим $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 1$

Этап 11.2.1.2.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} \cdot 1$

Этап 11.2.1.2.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} \cdot 1$

Этап 11.2.1.2.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} \cdot 1$

Этап 11.2.1.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Этап 11.2.1.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} \cdot 1$

Этап 11.2.1.2.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Этап 11.2.1.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Этап 11.2.1.2.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Этап 11.2.1.2.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Этап 11.2.1.2.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} \cdot 1$

Этап 11.2.1.2.7.5

Найдем экспоненту.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3} \cdot 1$

Этап 11.2.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{6} \cdot 1$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sqrt{3}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 (\sqrt{3})}{6} \cdot 1$

Этап 11.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Этап 11.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2} \cdot 1$

Этап 11.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1$

Этап 11.2.1.5

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 12

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Этап 14

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - \frac{π}{6}$

Этап 15

Упростим $2 π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 15.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 15.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $6$ на $2$ .

$θ = \frac{12 π - π}{6}$

Этап 15.3.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$θ = \frac{11 π}{6}$

Этап 16

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 16.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 17

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , для любого целого $n$