Алгебра Примеры

$x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{3}} = 3 x^{\frac{1}{6}} - 9$

Этап 1

Найдем общий множитель $x^{\frac{1}{6}}$ , который присутствует в каждом члене.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{6}})}^{2} - 3 x^{\frac{1}{6}} + 9$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{6}}$ .

${(u)}^{3} - 3 {(u)}^{2} - 3 u + 9 = 0$

Этап 3

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Избавимся от скобок.

$u^{3} - 3 u^{2} - 3 u + 9 = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(u^{3} - 3 u^{2}) - 3 u + 9 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u^{2} (u - 3) - 3 (u - 3) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 3$ .

$(u - 3) (u^{2} - 3) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 3 = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $u - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $u - 3$ к $0$ .

$u - 3 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u = 3$

Этап 3.5

Приравняем $u^{2} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $u^{2} - 3$ к $0$ .

$u^{2} - 3 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $u^{2} - 3 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$u^{2} = 3$

Этап 3.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$u = \pm \sqrt{3}$

Этап 3.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$u = \sqrt{3}$

Этап 3.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$u = - \sqrt{3}$

Этап 3.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 3) (u^{2} - 3) = 0$ верно.

$u = 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 4

Подставим $x$ вместо $u$ .

$x^{\frac{1}{6}} = 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 5

Решим относительно $x^{\frac{1}{6}} = 3$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем обе части уравнения в степень $6$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = 3^{6}$

Этап 5.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 3^{6}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 3^{6}$

Этап 5.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 3^{6}$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим.

$x = 3^{6}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $3$ в степень $6$ .

$x = 729$

Этап 6

Решим относительно $x^{\frac{1}{6}} = \sqrt{3}$ для $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем обе части уравнения в степень $6$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = {\sqrt{3}}^{6}$

Этап 6.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {\sqrt{3}}^{6}$

Этап 6.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {\sqrt{3}}^{6}$

Этап 6.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {\sqrt{3}}^{6}$

Этап 6.2.1.1.2

Упростим.

$x = {\sqrt{3}}^{6}$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим ${\sqrt{3}}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{6}$ в виде $3^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{6}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 6}$

Этап 6.2.2.1.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $6$ .

$x = 3^{\frac{6}{2}}$

Этап 6.2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}}$

Этап 6.2.2.1.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}$

Этап 6.2.2.1.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}$

Этап 6.2.2.1.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$x = 3^{\frac{3}{1}}$

Этап 6.2.2.1.1.4.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$x = 3^{3}$

Этап 6.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$x = 27$

Этап 7

Перечислим все решения.

$x = 729, 27, 27$