Алгебра Примеры

$f (x) = 4 x^{\frac{2}{5}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 4 x^{\frac{2}{5}}$ в виде уравнения.

$y = 4 x^{\frac{2}{5}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 4 y^{\frac{2}{5}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $4 y^{\frac{2}{5}} = x$ .

$4 y^{\frac{2}{5}} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $4 y^{\frac{2}{5}} = x$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $4 y^{\frac{2}{5}} = x$ на $4$ .

$\frac{4 y^{\frac{2}{5}}}{4} = \frac{x}{4}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{\frac{2}{5}}}{4} = \frac{x}{4}$

Этап 3.2.2.2

Разделим $y^{\frac{2}{5}}$ на $1$ .

$y^{\frac{2}{5}} = \frac{x}{4}$

Этап 3.3

Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{2}$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{x}{4})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.4

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Упростим ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{x}{4})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.4.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{x}{4})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.4.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{x}{4})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.4.1.1.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{x}{4})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.4.1.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = \pm {(\frac{x}{4})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.4.1.1.2

Упростим.

$y = \pm {(\frac{x}{4})}^{\frac{5}{2}}$

Этап 3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Упростим $\pm {(\frac{x}{4})}^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{4}$ .

$y = \pm \frac{x^{\frac{5}{2}}}{4^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.4.2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \pm \frac{x^{\frac{5}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}$

Этап 3.4.2.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2^{2 (\frac{5}{2})}}$

Этап 3.4.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2^{2 (\frac{5}{2})}}$

Этап 3.4.2.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{x^{\frac{5}{2}}}{2^{5}}$

Этап 3.4.2.1.2.4

Возведем $2$ в степень $5$ .

$y = \pm \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$

$y = - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$

$y = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$

$y = - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$

$y = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$

$y = - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}, - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}, - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$ обратной к $f (x) = 4 x^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 4 x^{\frac{2}{5}}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}, - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = 4 x^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[0, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{\sqrt{x^{5}}}{32}$

Этап 5.3.2

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{5}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{5} \geq 0$

Этап 5.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{0}$

Этап 5.3.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \geq \sqrt[5]{0}$

Этап 5.3.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x \geq \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 5.3.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \geq 0$

Этап 5.3.4

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = 4 x^{\frac{2}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$4 \sqrt[5]{x^{2}}$

Этап 5.4.2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}, - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 4 x^{\frac{2}{5}}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}, - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$ , представляет область определения $f (x) = 4 x^{\frac{2}{5}}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}, - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$ — обратная к $f (x) = 4 x^{\frac{2}{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}, - \frac{x^{\frac{5}{2}}}{32}$

Этап 6