Алгебра Примеры

$x^{4} + 4 x^{3} - x^{2} - 16 x - 12$

Этап 1

Перегруппируем члены.

$x^{4} - x^{2} + 4 x^{3} - 16 x - 12$

Этап 2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} + 4 x^{3} - 16 x - 12$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + 4 x^{3} - 16 x - 12$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) + 4 x^{3} - 16 x - 12$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) + 4 x^{3} - 16 x - 12$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) + 4 x^{3} - 16 x - 12$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 x^{3} - 16 x - 12$

Этап 5

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} - 16 x - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x^{3}) - 16 x - 12$

Этап 5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x^{3}) + 4 (- 4 x) - 12$

Этап 5.3

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 x^{3} + 4 (- 4 x) + 4 \cdot - 3$

Этап 5.4

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} + 4 (- 4 x)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x^{3} - 4 x) + 4 \cdot - 3$

Этап 5.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} - 4 x) + 4 \cdot - 3$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x^{3} - 4 x - 3)$

Этап 6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разложим $x^{3} - 4 x - 3$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Этап 6.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 3$

Этап 6.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1 - 3$

Этап 6.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - 4 \cdot - 1 - 3$

Этап 6.1.3.3

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- 1 + 4 - 3$

Этап 6.1.3.4

Добавим $- 1$ и $4$ .

$3 - 3$

Этап 6.1.3.5

Вычтем $3$ из $3$ .

$0$

Этап 6.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 4 x - 3}{x + 1}$

Этап 6.1.5

Разделим $x^{3} - 4 x - 3$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$3$

Этап 6.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$

Этап 6.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 6.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 6.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 6.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$

Этап 6.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$

Этап 6.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 6.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 6.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$

Этап 6.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	-	$3$

Этап 6.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	-	$3$

Этап 6.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	-	$3$

Этап 6.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 3 x - 3$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	+	$3$

Этап 6.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	+	$3$
										$0$

Этап 6.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - x - 3$

Этап 6.1.6

Запишем $x^{3} - 4 x - 3$ в виде набора множителей.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 ((x + 1) (x^{2} - x - 3))$

Этап 6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x + 1) (x^{2} - x - 3)$

Этап 7

Вынесем множитель $x + 1$ из $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x + 1) (x^{2} - x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 4 (x + 1) (x^{2} - x - 3)$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $4 (x + 1) (x^{2} - x - 3)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (4 (x^{2} - x - 3))$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (4 (x^{2} - x - 3))$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 4 (x^{2} - x - 3))$

Этап 8

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 4 (x^{2} - x - 3))$

Этап 9

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 1 + 4 (x^{2} - x - 3))$

Этап 9.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 4 (x^{2} - x - 3))$

Этап 9.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 4 (x^{2} - x - 3))$

Этап 10

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 4 (x^{2} - x - 3))$

Этап 11

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 4 (x^{2} - x - 3))$

Этап 12

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 4 x^{2} + 4 (- x) + 4 \cdot - 3)$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 4 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 3)$

Этап 13.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 12)$

Этап 14

Добавим $- x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12)$

Этап 15

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перепишем $x^{3} + 3 x^{2} - 4 x - 12$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) ((x^{3} + 3 x^{2}) - 4 x - 12)$

Этап 15.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) (x^{2} (x + 3) - 4 (x + 3))$

Этап 15.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 3$ .

$(x + 1) ((x + 3) (x^{2} - 4))$

Этап 15.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(x + 1) ((x + 3) (x^{2} - 2^{2}))$

Этап 15.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x + 1) ((x + 3) ((x + 2) (x - 2)))$

Этап 15.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) ((x + 3) (x + 2) (x - 2))$

Этап 15.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x + 3) (x + 2) (x - 2)$