Алгебра Примеры

$x (2 x - 3) < 5 x < 3 x (x + 7)$

Этап 1

Решим $x (2 x - 3) < 5 x$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $x (2 x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем.

$0 + 0 + x (2 x - 3) < 5 x$

Этап 1.1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) + x \cdot - 3 < 5 x$

Этап 1.1.2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 x \cdot x + x \cdot - 3 < 5 x$

Этап 1.1.2.2.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$2 x \cdot x - 3 \cdot x < 5 x$

Этап 1.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Перенесем $x$ .

$2 (x \cdot x) - 3 \cdot x < 5 x$

Этап 1.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$2 x^{2} - 3 \cdot x < 5 x$

$2 x^{2} - 3 x < 5 x$

Этап 1.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей неравенства.

$2 x^{2} - 3 x - 5 x < 0$

Этап 1.2.2

Вычтем $5 x$ из $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 8 x < 0$

Этап 1.3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} - 8 x = 0$

Этап 1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 8 x = 0$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 8 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 4) = 0$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x) + 2 x (- 4)$ .

$2 x (x - 4) = 0$

Этап 1.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 1.6

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 1.7

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 1.7.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 1.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 1.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Этап 1.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 1.10.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) (2 (- 2) - 3) < 5 (- 2)$

Этап 1.10.1.3

Левая часть $14$ не меньше правой части $- 10$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.10.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 1.10.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$(2) (2 (2) - 3) < 5 (2)$

Этап 1.10.2.3

Левая часть $2$ меньше правой части $10$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 1.10.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 1.10.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$(6) (2 (6) - 3) < 5 (6)$

Этап 1.10.3.3

Левая часть $54$ не меньше правой части $30$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 1.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 1.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x < 4$

Этап 2

Решим $5 x < 3 x (x + 7)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$3 x (x + 7) > 5 x$

Этап 2.2

Упростим $3 x (x + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем.

$0 + 0 + 3 x (x + 7) > 5 x$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления нулей.

$3 x (x + 7) > 5 x$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Этап 2.2.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Этап 2.2.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Этап 2.2.5

Умножим $7$ на $3$ .

$3 x^{2} + 21 x > 5 x$

Этап 2.3

Перенесем все члены с $x$ в левую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вычтем $5 x$ из обеих частей неравенства.

$3 x^{2} + 21 x - 5 x > 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $5 x$ из $21 x$ .

$3 x^{2} + 16 x > 0$

Этап 2.4

Преобразуем неравенство в уравнение.

$3 x^{2} + 16 x = 0$

Этап 2.5

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$x (3 x) + 16 x = 0$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $x$ из $16 x$ .

$x (3 x) + x \cdot 16 = 0$

Этап 2.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x \cdot 16$ .

$x (3 x + 16) = 0$

Этап 2.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x + 16 = 0$

Этап 2.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.8

Приравняем $3 x + 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Приравняем $3 x + 16$ к $0$ .

$3 x + 16 = 0$

Этап 2.8.2

Решим $3 x + 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 16$

Этап 2.8.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 16$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 16$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 16}{3}$

Этап 2.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 16}{3}$

Этап 2.8.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 16}{3}$

Этап 2.8.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{16}{3}$

Этап 2.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (3 x + 16) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{16}{3}$

Этап 2.10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{16}{3}$

$- \frac{16}{3} < x < 0$

$x > 0$

Этап 2.11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{16}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{16}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 8$

Этап 2.11.1.2

Заменим $x$ на $- 8$ в исходном неравенстве.

$5 (- 8) < 3 (- 8) ((- 8) + 7)$

Этап 2.11.1.3

Левая часть $- 40$ меньше правой части $24$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.11.2

Проверим значение на интервале $- \frac{16}{3} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{16}{3} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 2.11.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$5 (- 3) < 3 (- 3) ((- 3) + 7)$

Этап 2.11.2.3

Левая часть $- 15$ не меньше правой части $- 36$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.11.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.11.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$5 (2) < 3 (2) ((2) + 7)$

Этап 2.11.3.3

Левая часть $10$ меньше правой части $54$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 2.11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{16}{3}$ Истина

$- \frac{16}{3} < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

$x < - \frac{16}{3}$ Истина

$- \frac{16}{3} < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина

Этап 2.12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{16}{3}$ или $x > 0$

Этап 3

Найдем пересечение $0 < x < 4$ и $x < - \frac{16}{3} or x > 0$ .

$0 < x < 4$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$0 < x < 4$

Интервальное представление:

$(0, 4)$

Этап 5